数形结合思想应用探究

《数形结合思想应用探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、参评论文《数形结合思想应用探究》舞钢市第二高级中学吴金耀2010年10月20日参评论文第103页共103页数形结合思想应用探究摘要：数形结合思想是重要的数学思想方法之一，“数”和“形”是事物本质的两个表现形式，理解并领悟这点是数学学习的重要方面。数形结合是解决数学问题的重要思想方法。关键词：数形结合、探究数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。数形结合是一种重要的数学思想，是我们解题的重要手段。它是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的，它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，解

2、决数学问题能起到促进和深化的作用。一、数形结合思想的意义所谓数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，一方面借助数的精确性来阐述形的某些属性，另一方面借助形的直观性来阐述数量之间的关系。“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻，透彻的阐释。具体的说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征或使“数”的问题，借助“形”去观察；或将“形”的问题，借助“数”去思考，这种解决问题的思想称数形结合思想。二、数形结合思想的原则1、等价原则等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何转化是对应的，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性。

3、例1.方程的实数根的个数为（）A、3个B、5个C、7个D、9个参评论文第103页共103页yOx分析：图象法，作函数与的草图。由于两个函数均为奇函数，故只需要作的部分，又因为x>8时，>2，故图形只需取[]就行了（如图），当时，，在内有一个交点。因此除原点外还有四个交点，再由奇偶性知有9个交点，故选D2、双向性原则双向性原则是指通过几何形象的直观性分析，进行代数计算的探索。例2.如果实数满足等式，那么的最大值是什么？解：设点在圆上，圆心为,半径等于。如图，则是点与原点连线的斜率。当与⊙相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值。因为=，=，所以==，所以==。3、简单性原则简单性原则

4、是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何形象优美又使代数计算简洁明了。例3.解不等式：解:设，，即对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是。参评论文第103页共103页三、数形结合思想的途径1、由数到形的转换途径（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。（2）利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形。（4）利用解析几何

5、中的曲线与方程的关系、重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。2、由形到数的转换途径（1）解析法：建立适当的坐标系，引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角知识获得探求结果的途径。（3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。四、数形结合在数学教学中的应用1、与不等式有关的问题应用数形结合思想解不等式，要充分了解所求不等式的几何意义

6、。例4.设变量、、在区间中取值，试证：参评论文第103页共103页分析：本题直接证不好证明，由左边的轮换式可以联想到面积，由于变量、、在区间中取值构造一个边长为1的正三角形。将这些关系统一在一个不等式中，可得到如下简洁而优美的解法。BA1ACB1C1解：如图，正三角形边长为1，设点、、分别在边、和上，且有，，，则，，，，++∴即，结论得证2、与方程的根有关的问题应用数形结合思想解方程，应当注意曲线与方程的对应关系。xyo例5、方程的实根个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个分析：这道题若直观通过解1个3次方程来解，比较麻烦。可在同一个坐标系下画出与参评论文第103页共103页的图象。由

7、图象观察可知，两函数图象只有一个交点。故选A3、与函数有关的问题例6、求二元函数的最小值Oyx分析：可将的表达式看作是两点、之间距离的平方且，，所以可将、分别看作圆与双曲线上一点易知∴4、与复数有关的问题例7、的2次方程中，均为复数且，设这个方程的两个根为和，满足，求的最大值、最小值分析：由韦达定理，得结合已知得OAyxBC·，即复数在以为圆心，7为半径的圆上∵∴原点在上述圆内，连接延长交圆于点与点则，5、在解析几何上的