浅论数形结合思想及其应用

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1、浅论数形结合思想及其应用　　摘要：数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形）。“数”和“形”常按照一定的条件相互转化，数形结合思想是数学重要思想方法之一，并蕴于数学基础知识和基本技能之中，在数学解题中应用十分广泛。数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，发挥“数”与“形”两种信息的转化、互补与整合，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来。　　关键词：数形结合；思想方法；空间形式；数量关系　　数学的研究对象主要是数量关系和空间形式，因而数形结合是一种极富数学特点的信息转换。在中学数学教材中，我们可以看到处处渗透着数形结

2、合的思想。如研究函数的性质，往往借助于函数的图象；研究不等关系往往借助于“数轴”；研究三角函数借助于单位圆等等，这些都直接体现了数形结合的思想。运用数形结合思想解题，不仅非常直观，而且也易于寻找解题途径，还能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，收到事半功倍的效果。数形结合的解题方法具有直观性、灵活性的特点。可以说，数形结合思想是中学数学中最常见、最有效的思想方法之一。但学生在平时的学习中不易把握，而它的应用却又十分的广泛。　　一、数形结合思想的内涵　　何谓数形结合？数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，是数学的基石。恩格斯曾说过：“6数学是研

3、究现实世界的数量关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。关于数形结合，华罗庚先生也曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休；切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离。”　　数形结合思想是通过数、形间的对应与互助来研究问题并解决问题的思想。“

4、形”中的一些量（如距离、角度、面积、体积等等）在一定单位制中可分别对应一些确定的“数”。通过这种对应，可使一些抽象的概念、复杂的数量关系借助其背景图形的性质，变得直观，便于找到解决问题的思路及方法。　　二、数形结合思想的应用　　（一）在方程与不等式中的应用　　1.方程问题　　判定一个二次方程根的个数时，通常用根的判定式“△”。然而，当一个二次方程中的未知数的取值范围受限制时，用“△”值判定根的个数就困难了，用数形结合法则可避免。　　例：方程有且只有一个实数根，求实数的值；若该方程有两个不等的实数根，求的取值范围。　　分析设方程左边为，其图形为半

5、圆；方程的右边为，其图形为恒过点的直线，研究方程6根的个数问题就可以转化成研究半圆与直线交点个数的问题。　　解（1）建立如图1所示的坐标系，过点作半圆的切线，则与轴平行且斜率为0.又.由图知，直线与半圆只有一个交点时，即方程只有一个实根时，，或或.　　（2）由图知，当时，直线与半圆有两个交点，即方程有两个实数[4].　　2.不等式问题　　含绝对值不等式的解法：　　解含绝对值的不等式，把它转化成等价的图形，观察其结果比较简单.对于含参数的绝对值不等式问题，用数形结合，能以一种动态的眼光来看待静止的画面，并通过操作和观察来领会其中的关系。　　例：已

6、知关于的不等式的解集为的子集，求的范围.　　分析构造出图形后，让绕点旋转，通过旋转得出正确的结论.　　解设方程左边为，右边为做草图，由图2可知>-1.　　一元二次不等式，一元高次不等式和分式不等式的解法：　　我们知道一元二次函数的图像是一条抛物线，当时，抛物线的开口向上；当时，抛物线的开口向下.当时，方程有实根，表示该抛物线与轴有交点；当0时，方程没有实根，表示该抛物线与轴无交点.如何运用数形结合法求解不等式的解集呢？　　其内容和步骤是：（1）分别将一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式中分子和分母的最高次项系数“若负化正”6.（2）判别相

7、应的方程是否有根，有根则解出方程的根.（3）将根在平面直角坐标系中标出来.（4）从右向左，从上向下将根用一条曲线一一串起来.（5）判断解集.以最高次项系数为正的不等式为准，若该不等式为大于0的不等式则看轴上方的曲线；若该不等式为小于0的不等式，则看轴下方的曲线。　　例：解不等式　　解因为，所以不等式可以变形为，而方程的，所以方程有实根.这说明抛物线与轴有交点.如图3所示：　　因为，所以应看轴上方的图象，即或，所以不等式的解集为.　　例：解不等式　　解由题设知，原不等式可变形为，方程有实根为.说明曲线与轴有交点，如图4所示：　　因，所以看轴下方的

8、图象，该图象有两部分：一部分在-1和2之间，另一部分在3和3之间，所以不等式的解集为.　　（二）在集合中的应用　　图示法是集合的重要表示法之一，对一些