数形结合思想的应用

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1、数形结合渡难关内容分析：数与形是数学中的两个最基本的研究对象，数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解，它们之间存在着密切的联系，在一定条件下可以相互转化，这种联系称之为数形结合。数形结合的思想渗透在中学数学中，是一种帮助学生理解数学、学好数学的重要思想方法。在教学中应注重培养学生将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答的数学思想。具体来说，就是①利用几何图形的性质研究数量关系，寻找代数问题的解决途径。②利用数量关系研究几何图形

2、的性质，解决几何问题，将数和形巧妙结合起来，以形促数，以数辅形。学情分析：许多学生思维模式固定单一，认为代数问题就是要运算，认为几何问题就是证明，把数和形孤立起来，造成思维障碍。针对这一现状，安排这节课，希望能给学生以启迪。知识与技能1、培养学生养成严谨的审题习惯，能仔细斟酌题意，挖掘题干信息，找到数与形的结合点。2、理解数形结合的两种情况，在具体问题中，能以形促数，以数辅形数，达到数形结合的目的。过程和方法：通过课件展示，让学生先思考，然后教师讲解，体会平面直角坐标系是数形结合的载体。情感，态度和价值观：学生体会到数形结合在数学实际问题的解决中所起的作用，以形促数，以数辅

3、形，激发学生探索数学奥秘的兴趣。教学重点：体会平面直角坐标系是数形结合的载体。教学难点：数与形的相互转化及巧妙结合。一、导学过程，揭示课题。（幻灯片1）二、数形结合思想的简述。（幻灯片2）著名数学家华罗庚说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非。这首诗是对数形结合思想的精妙概括。具体来说，就是①利用几何图形的性质研究数量关系，寻找代数问题的解决途径。②利用数量关系研究几何图形的性质，解决几何问题，将数和形巧妙结合起来，以形促数，以数辅形。它可以使抽象问题直观化，复杂问题简单化，现在举例具体说明。三、例题解析：1、以形促数，达到几何问题的代数化处理

4、。（幻灯片3）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4√5，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标是多少？分析：①、先确定使CP+DP最短时P点的位置。即作C点关于直线OB的对称点，而四边形OABC是菱形，根据菱形的对称性可知，A点就是C点的对称点。连接AD，与OB的交点，就是P点的位置。②、欲求P点坐标，由图像可知，P点是直线DA和OB的交点，即两个一次函数图像的交点。而要求出两个一次函数的解析式，只需要求出B点的坐标即可。而B点的纵坐标是菱形的高BE。2根据菱形的性质和勾股定理，可以求出AC=2√5.

5、根据菱形面积的两种算法，1/2OB*AC=OA*BE，可得BE=4，Rt△ABE中，AB=5,∴AE=3,∴B（8,4）③、根据待定系数法可以求出OB直线解析式为Y=X,AD直线解析式为Y=XY=-X+1∴p点坐标就是方程组的解。解方程组得P（，）2、以数辅形，达到倒数问题的几何化处理。（幻灯片4、5）.如图，由点P（14,1），A（a，0），B（0，a）（0＜a＜14）确定的△PAB的面积为18，求a的值，如果a＞14呢？分析：0＜a＜14时，x轴上的点A在P点左方；a＞14时，x轴上的点A在P点右方。0＜a＜14a＞14①、解：作PD⊥x轴，PC⊥y轴，由题意得：OA=

6、OB=a，OD=PC=14，PD=1，AD=14-a∵S△S梯形BODP-S△AOB-S△ADP=18∴（1+a）*14-a²-（14-a）=18整理得：a²-15a+36=0解之得：a1=12，a2=3②、解：作PD⊥x轴，PC⊥y轴，由题意得：OA=OB=a，OD=PC=14，PD=1，AD=a-14∵S△∴S△OAB-S梯形BODP-S△ADP=18即a²-*14*（1+a）-（a-14）*1=18整理得：a²-15a-36=0解之得：a=，∵a＞14，∴a=综上所述：当0＜a＜14时，a=12或3；当a＞14时，a=四、学生练习：1．如图，在△ABC中，AB=AC，

7、以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．（1）求证：FE⊥AB；（2）当EF=6，=时，求DE的长．2．如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．五、作业设计：1．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长