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1、第一章行列式§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数§3n阶行列式的定义§4对换§5行列式的性质§6行列式按行(列)展开§7克拉默法则§6行列式按行(列)展开一、余子式和代数余子式在n阶行列式中，把(i,j)元所在的第i行和第j列划掉，其余的元素按原来的相对位置排列，所形成新的n-1阶行列式叫做的(i,j)元就叫做相应的代数余子式.例如,对于4阶行列式的(3,2)元的余子式为代数余子式为,是一个数值;记作的余子式，而余子式再赋予如下符号后的式子(仍是一个数值)二、引理在n阶行列式D中,如果其第i行除(i,j)元以外,
2、其余的元素均为零,则该行列式等于这个(i,j)元与它的代数余子式的积.即是分块下三角行列式,于是(2)再证一般情形,通过行的交换、列的交换转化为上述特殊情形.证明:(1)先证i=j=1的情形,此时依次换行i-1次得到:再依次换列j-1次得到:右端行列式是一个分块下三角行列式,于是证毕.注该引理在行列式计算中的意义在于:这类特殊行列式可以降一阶处理;该引理在理论上的意义在于:可以引导出行列式按行(列)展开的性质.定理3：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.该性质称为行列式按行(列)展开法则
3、.即证明:三、行列式按行(列)展开按第i行展开:按第j列展开:再根据引理，即有:类似地，按列可以证明:证毕.注:利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.例1.6.1（例1.3.1的解法4）解:例1.6.2(例1.5.2的解法2)求解解：保留,利用性质6,把D的第3行其余元素均化为零,再按第3行展开:例1.6.3（例1.5.6的解法2）解:其中记号“∏”表示全体同类因子的乘积.例1.6.4证明：范德蒙德（Vandermonde）行列式特点:第1,2,…,n行元素分别是第2行元素的0,1,…,n-1次幂.结
4、论:行列式的值是第2行各元素与其前面各元素之差的乘积.例如证明:用数学归纳法,当n=2时假设当n-1阶时,结论成立.则对n阶范德蒙德行列式,从第n行开始，后行减去前行的倍,得到证毕.定理3的推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即综合定理3及其推论，有关于代数余子式的重要性质：四、代数余子式的重要性质按行:按列:按行:按列:注:代数余子式的上述重要性质,在计算及理论推导中均有应用.如下例.例1.6.5设解:(1),其(i,j)元的余子式,代数余子式分别记作，求(1)例1.6
5、.5设解:(2),其(i,j)元的余子式,代数余子式分别记作，求(1)如果上述n阶线性方程组的系数行列式克拉默法则（1.7.1）则方程组(1.7.1)有唯一解其中通过四点求系数例1.7.1设曲线解:把四个点的坐标代入曲线方程，得系数行列式定理4如果n阶线性方程组(1.7.1)的系数行列式非零,则(1.7.1)一定有解，且解是唯一的.系数行列式与线性方程组的解逆否定理为：定理4’如果线性方程组(1.7.1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.若线性方程组(1.7.1)右端的常数项全为零,则方程组化为撇开(1.
6、7.1)的求解公式,克拉默法则可叙述为齐次线性方程组与非齐次线性方程组称为齐次线性方程组,否则称(1.7.1)为非齐次线性方程组.(1.7.2)1.三元齐次线性方程组解的几何意义上述三元齐次线性方程组的解即三个平面的公共点.由于三个平面唯一解(即零解),无非零解齐次线性方程组及其有非零解的充要条件都过坐标原点,故(1.7.3)一定有零解（1.7.3）无穷多解(含零解),有非零解2.齐次线性方程组有非零解的充要条件注：讨论含参数的n元齐次线性方程组有非零解的充要条件,和利用克拉默法则求解n元线性方程组一样,都是本节典型
7、习题.齐次线性方程组(1.7.2)一定有零解，但未必有非零解.把定理4应用于齐次线性方程组(1.7.2),可得定理5如果齐次线性方程组(1.7.2)的系数行列式不为零,则齐次线性方程组(1.7.3)没有非零解.逆否定理为定理5’如果齐次线性方程组(1.7.2)有非零解,则其系数行列式必为零.定理5(或定理5’)说明,系数行列式为零是齐次线性方程组(1.7.2)有非零解的必要条件；在第三章还将证明这个条件也是充分的.例1.7.2求λ为何值时,齐次线性方程组解:齐次线性方程组的系数行列式有非零解?令,解得此即给定方程组有
8、非零解的充要条件.本次课基本要求1.掌握余子式和代数余子式的概念；2.熟记行列式按行(列)展开的法则(定理3)，理解定理3的推论；3.掌握克拉默法则、齐次线性方程组有非零解的充要条件.课后作业P27:6(4)(5)，8(3)(6)，10(2)，12.
