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1、顾与反思学以致用1.若一个直角三角形的三边长是三个连续偶数，则它的三边长各为:若是三个连续口然数，则它的三边长各为2.判断:设直角三角形三边长为a,b,C,C为斜边，则(a^b)2=c2^2ab.()3・已知：ZXABC中，a=m2一n2,b=2mn,c=m2+『，其中m、n是正整数，且m>n,试判断，AABC是否是直角三角形？4・如下图，A、B两点都与平而镜相距4m,且A、B两点相距6m。一束光由A点射向平面镜反射之后恰巧经过B点.求B点到入射点的距离？A65.如下图，AABC屮，CD是AB边上的高，且CD?=AD・BD.求证：AABC是直角三角形
2、.6.观察下列勾股数:第一组：3=2x14-1第二组；5=2x2+l第三组:7=2x3+l第四组：9=2x4+l4=2xlx(1+1)12=2x2x(2+l)24=2x3x(3+1)40=2x4x(4+1)5=2xlx(14-1)4-113=2x2x2(2+1)4-125=2x3x(3+l)+l41=2x4x(4+1)+1观察以上各组勾股数的特点，你能求出第七组勾股数的a、b、c各应是多少吗?第n组呢？7・设a>0,b>O（afb）,求证：2yja2+b~>V2（6/+/?）.8.（2003年北京西城区中考题）清朝康熙皇帝是我国历史上一位对数学很有兴
3、趣的帝王.近U,西安发现了他的数学专著，其屮有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长'，这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数・"用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S,则第一步：2=加；6第二步:y[m-k;第三步：分别用3、4、5乘以k,得三边长・"（1）当面积S等于150时，请用康熙的<积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；⑵你能证明“积求勾股法'啲正确性吗?请写出证明过程.答案：1.解
4、：6,8,10；3,4,5o2.解：・・•三角形为直角三角形，/•a1+2ah+h2=c2+2aho・：（a+b^~=c2+lab。解：V.方法技巧：将给定的条件a2+b2=c2配项、变形可得到结论.3.分析：本题的关键是确定最大边，然后根据山角三角形的判定条件（即勾股定理的逆定理）判定此三角形为直角三角形.解：Tm、n是正整数，XLm>n,・；c>b,c>a.a2+b2=(m2—n2)+(2mn)2=m4一2m2n2+n4+4m2n2=(m2+n2)2=AAABC是直角三角形.方法技巧：本题已知的式子：n?—it2、2mn>m2+n2,是一种勾股数
5、组的情形，任给一组满足的止整数的值，都可以得到一个勾股数组.、、、y、、、、^』、、^、、、1.解：作出B点关于CD的对称点宙，连结AB交CD于0点，则0点就是光的入射点.A6BTB'D=DB;BD=AC.:.BfD=AC.又••・ZBfDO=ZOCA=90°,ZB，=ZCAO,/.ABfDO=MCO（ASA）o/.OC=OD=-AB=-x6=3.22连结OB,在RtAODB中，••・OD2+BD2=OB2,?.OB=yj0D2+BD2=肘+军=5（加）・答：点B到入射点的距离是5m.方法技巧：充分利用光的反射知识、勾股定理、全等三角形、轴对称等数
6、学知识解题。1.分析：欲证AABC是直角三角形，只需证AC2+BC2=AB2.由条件可知厶ACD、ABCD为直角三角形，可得AC2=AD2+CD2,BC2=BD2+CD2，于是AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2,再由条件cd2=AD.BD,即可证得.证明：・・•CD丄AB,:.ZADC=上BDC=90°。在RtAACD中，AC2=AD2+CD2,在RtABCD中，BC2=BD2+CD2,AAC2+BC2=AD2+2CD2十BD2.又•・•CD1=AD•BD,:.AC2+BC2=AD2+2ADBD+BD2=(AD+BD)2=AB2・AAABC是直
7、角三角形.方法技巧：由图中的直角三角形联想到勾股定理以及勾股定理的逆定理，充分挖掘已知条件，进而得到ac2+bc2=ab2.6・解：第七组：a=2x7+l=15,b=2x7x(7+1)=112,c=112+l第n组：a=2n+l,b=2n(n+l),c=2n(n+l)+1・方法技巧：记住前面总结的勾股数公式a=2n+l,b=2n(n+l),c=2n(n+l)+l,只要用大于0的任何一个自然数分别代人公式，便可得到一组勾股数7・分析：事实上，彳寺证式右边=」2(a+b$=严)2+(g+Z?)2I大I此可构造一个以a+b为边长的正方形，由伽数转/证明：如
8、下图，作正方形ABCD,其中AE=AM=a,ED=MB=b,作EF〃AB,MN〃AD,从而在RtAMOB+有
