利用导数探究三次方程实根的个数.doc

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1、y图1(2)要使方稈.f(兀)=0有且仅有两个实根,其充要条件是/(码)=0/(兀2)<°或者心)=0⑶要使方程/(X)=0有且仅有一个实根,其充要条件是.f(“)・/(兀2)>0,如图3如图2图2图3利用导数探究三次方程实根的个数程文(河南省洛阳市第二屮学471003)问题:三次方程ax3+hx2+cx+d=0(a^0)有三个实根、两个实根、一个实根的充要条件分别是什么?探究:设于(力=0?+加2+・+〃(。工0),下血只对a>0时的情况进行探讨,a<0时的情况请类似探讨。f'(x)=3ax2+2h

2、x+c(tz>0)为x的二次函数1.当△=(2方尸一4•3a•c=402一3ac)>0时,方稈广(x)=0即3a?+2处+c=0有两个不同的实根Xj,X2,设兀]<兀2,贝0兀VJC]或尤>兀2时,/'(X)>O,Xj

3、如图42.当a<0时,也分以下两种情况(1)A=(2Z?)2-4•3a•c=4(/?2-3ac)>0时,方程/x)=0即3ax2+2bx+c=0有两个不同的实根x(,x2,设兀2时,fW<0,x}0f(x)在(-oo,X]),(x2,+oo)上递减,在(xnx2)±递增,且有两个极值点,x=x}为极小值点,x=x2为极大值点此时,要使方程/W=0有三个不同的实根,其充要条件是V7(^)<0/(兀2)>°要使方程/(a)=0有且仅有两个实根,其充

4、要条件是/(x,),/(a-2)屮有且仅有一个为o,即]/(A,)=°叶)>0mxo/(AS)=O要使方f?./(x)=O有且仅有一个实根,其充要条件是/◎】)•/(兀2)〉°,如图7⑵当△=(2b)2—4・3a・c=4(,—3ac)50时,/(x)<0在R上恒成立。且仅当△=()时,%=%]=x2,才有f(x)=0・•・/(x)在R上为减函数,无极值,此时y=/⑴的图像与x轴有唯一交点,方程/(%)=实根兀°,如/(x)=-U-/n)3+c型,事实上,求三次方程/(x)=0有几个实根,等价于研究y=

5、/(x)的图像与无轴有几个交点,可先利用导数求出三次函数的单调区间和极值点,画出大致图像,再把x轴向上或向下平移到不同的位置,可得到方稈/(X)=0有三个实根、两个实根、一个实根的充要条件。由三次函数的图像可知,方B/U)=0不可能无实根。事实上,求三次方程/(X)=0有儿个实根,等价于研究y=/(x)的图像与兀轴有儿个交点,可先利用导数求出三次函数的单调区间和极值点,画出大致图像,再把兀轴向上或向下平移到不同的位置,可得到方/(X)=0有三个实根、两个实根、一个实根的充要条件。由三次函数的图像可知,

6、方程/(a)=0不可能无实根。应用举例例1已知gR,且三次方程/(兀)=x3-ax1+bx-c=0有三个实根x},x2,,(1)类比一元二次方程根与系数的关系,写出此方稈根与系数的关系;(2)若aeZ.beZ且

7、b

8、v2JQ)在x二◎,兀=0处取得极值且—1vav0v0v1,试求此方程三个根两两不等时c的取值范围。解:(1)由已知得Qa/(x)=x-ax^+bx-c=(.x-x])(x-x2)(x-x3)-X-(X,+x2+兀3)•无.+(“兀2+X2X3+X3X1)-X-XIX2X3比较两边系数得a

9、=X}+x2+X.,b=兀]兀2+兀2^3+x3x,C=x}x2x3(2)由/⑴在x-a.x-0处取得极值,得f'(x)=3x2-2ax-^b=0的两个不等实根是a,0且—lvavOv0vl因为抛物线开口向上,由根的分布的充要条件得图9P)又呦-1<(2<1,cieZ:.a=0,从而由f(x)=3x2-1=0得出a=—丰,0=¥,且f(x)的极大值为/(-〒),/⑴的极小值为/(「)2^32^30)(1)求/•◎)的单调区间和极值(2)证明方程/(x

10、)+3=0在(-2,0)内有且只有一个实根(3)若函数/(朗的图像与直线y=-3只有一个交点,求d的取值范围解:(1)八心亠2心3心-?)令八沪0得“0或乎・・・d〉o・•・寸>0・••/(兀)的增区间为(-00,0),(—,+03),减区间为(0,—)且/(X)的极大值是/•(())=1,/(X)的极小值^/(―)=1-—QJ/(2)由(1)知/*(兀)在(一2,0)上递增,且/(0)=1>-3,/(-2)=-7-4a<-3(va>0),・••有且仅有

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