3、如图42.当a<0时,也分以下两种情况(1)A=(2Z?)2-4•3a•c=4(/?2-3ac)>0时,方程/x)=0即3ax2+2bx+c=0有两个不同的实根x(,x2,设兀2时，fW<0,x}0f(x)在(-oo,X]),(x2,+oo)上递减，在(xnx2)±递增，且有两个极值点,x=x｝为极小值点，x=x2为极大值点此时，要使方程/W=0有三个不同的实根,其充要条件是V7(^)<0/(兀2)>°要使方程/(a)=0有且仅有两个实根，其充
4、要条件是/(x,),/(a-2)屮有且仅有一个为o,即]/(A,)=°叶)>0mxo/(AS)=O要使方f?./(x)=O有且仅有一个实根，其充要条件是/◎】)•/(兀2)〉°，如图7⑵当△=(2b)2—4・3a・c=4(，—3ac)50时，/(x)<0在R上恒成立。且仅当△=()时，%=%]=x2,才有f(x)=0・•・/(x)在R上为减函数，无极值,此时y=/⑴的图像与x轴有唯一交点，方程/(%)=实根兀°，如/(x)=-U-/n)3+c型,事实上，求三次方程/(x)=0有几个实根，等价于研究y=
5、/(x)的图像与无轴有几个交点，可先利用导数求出三次函数的单调区间和极值点，画出大致图像，再把x轴向上或向下平移到不同的位置，可得到方稈/(X)=0有三个实根、两个实根、一个实根的充要条件。由三次函数的图像可知，方B/U)=0不可能无实根。事实上，求三次方程/(X)=0有儿个实根，等价于研究y=/(x)的图像与兀轴有儿个交点，可先利用导数求出三次函数的单调区间和极值点，画出大致图像，再把兀轴向上或向下平移到不同的位置，可得到方/(X)=0有三个实根、两个实根、一个实根的充要条件。由三次函数的图像可知，
6、方程/(a)=0不可能无实根。应用举例例1已知gR,且三次方程/(兀)=x3-ax1+bx-c=0有三个实根x},x2,,(1)类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方稈根与系数的关系；(2)若aeZ.beZ且
7、b
8、v2JQ)在x二◎，兀=0处取得极值且—1vav0v0v1,试求此方程三个根两两不等时c的取值范围。解：(1)由已知得Qa/(x)=x-ax^+bx-c=(.x-x])(x-x2)(x-x3)-X-(X,+x2+兀3)•无.+(“兀2+X2X3+X3X1)-X-XIX2X3比较两边系数得a
9、=X}+x2+X.,b=兀］兀2+兀2^3+x3x，C=x}x2x3(2)由/⑴在x-a.x-0处取得极值，得f'(x)=3x2-2ax-^b=0的两个不等实根是a,0且—lvavOv0vl因为抛物线开口向上，由根的分布的充要条件得图9P)又呦-1<(2<1,cieZ:.a=0,从而由f(x)=3x2-1=0得出a=—丰,0=¥,且f(x)的极大值为/(-〒)，/⑴的极小值为/(「)2^32^30)(1)求/•◎)的单调区间和极值(2)证明方程/(x
10、)+3=0在(-2,0)内有且只有一个实根(3)若函数/(朗的图像与直线y=-3只有一个交点，求d的取值范围解：(1)八心亠2心3心-?)令八沪0得“0或乎・・・d〉o・•・寸>0・••/(兀)的增区间为(-00,0),(—,+03),减区间为(0,—)且/(X)的极大值是/•(())=1,/(X)的极小值^/(―)=1-—QJ/(2)由(1)知/*(兀)在(一2,0)上递增，且/(0)=1>-3,/(-2)=-7-4a<-3(va>0),・••有且仅有
