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时间:2020-02-26
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1、导数的概念及运算麻城一中 彭稳章△x△yMPy=f(x)y0xQ一、基本内容(一)导数的概念:概念:如果函数y=f(x)在x0处增量△y与自变量的增量△x的比值,当△x→0时的极限存在,则称f(x)在点x0处可导,并称此极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f(x)或y
2、x=x0.说明:3.比值就叫函数f(x)在x0到x0+△x之间的平均变化率;(1)瞬时速度:表示位移s在时刻t0对时间t的变化率;(3)为y=f(x)中y对x的变化率。1.导数是一个特殊的极限;2.f(x)为函数所表示的曲线在相应点M(x0,f(x0))处的切线斜率,其切线方程为:y-f(x0)=f(x
3、0)(x-x0);(2)角速度(角度对时间的变化率),电流等;【例1】已知函数y=f(x)在x=a处可导,且在该点的导数值f(a)=A,试求。分析:由已知得解:而说明:1.在导数定义中,自变量的增量的形式是多样的,但不论 选择哪种形式,也必须选择与之相对应的形式。2.(练习1)若函数f(x)在x=x0处的导数为A,求:答案:-3A1.几种常见函数的导数:①②③④⑤⑥⑦⑧(二)导数的运算2.导数的四则运算法则:③①即复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x),函数y=f(u)在点x的对
4、应点u处有导数yu=f(u),则复合函数y=f((x))在点x处有导数,且yx=yu·ux或写作fx((x))=f(u)(x)。②3.复合函数的导数:【例2】求下列函数的导数:(1)y=ln(cosx+sin3x),(2)解(1):说明:解这类题应该首先弄清函数的结构特征,再选公式和运算法则求导;对于复合函数,要弄清符复合函数结构。(2)(练习2)求函数的导数.答案:解:(1)A点是切点,则切线的斜率k=f(3)=11切线方程为:y-15=11(x-13)即y=11x-18;分析:由题目可知,点A(3,15)在函数的图像上,第(1)问是在A点处的切线,说明A点
5、是切点,而第(2)问是过A点的切线,说明A点不一定是切点。【例3】已知函数的导数,求:(1)函数f(x)在点A(3,15)处的切线方程;(2)过点A(3,15)且与函数f(x)的图像相切的切线方程。求切线方程应注意:①判断点A是否在函数图象上;②审题:在A(x0,f(x0))处切线y-f(x0)=f(x0)(x-x0)过A(x0,f(x0)),先设切 点,再按上述方法求解。说明:课后小节本节课主要复习导数的概念及几何意义,常见函数的导数和复合函数导数的求法。1.导数的求法有①定义法②公式法2.导数几何意义的灵活运用,切线方程的求法中关键是切点。y△x△yMPOy=f(x)0x△
6、x△yMPy=f(x)y0xQ
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