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1、第三篇导数及其应用第1节导数的概念及其运算1.导数的概念(1)f(x)在x=x0处的导数函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′
2、x=x0,即f′(x0)=基础知识梳理：(2)导函数当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=y′=注意:导数是函数在x=x0处及其附近函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比的极限,它是一个局部性的概念.则函数y=f(x)在x=x0处就有导数,否则就没有导数.2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=
3、x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为:y-y0=f′(x0)(x-x0).注意：求曲线过某点的切线方程，必须先判断点是否在曲线上。若不在，则先设切点坐标再求。3.几种常用函数的导数(1)c′=0(c为常数);(2)(xn)′=nxn-1(n∈N);(3)(sinx)′=cosx;(4)(cosx)′=-sinx;(5)(ex)′=ex;(6)(ax)′=axlna;4.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);(2)[f(x
4、)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);注意:关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况,如[f(x)+g(x)+h(x)]′=f′(x)+g′(x)+h′(x)等.1.在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx满足()A.Δx>0B.Δx<0C.Δx≠0D.Δx=0解析:当Δx>0时,是从右端趋近,Δx<0时,是从左端趋近,这就是“附近”的意义.答案:C考点训练：2.一物体的运动方程是s=3+t2,则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为()A.0.41B.3C.4D.4.1答案:D3.设函数f
5、(x)可导,则等于()A.f′(1)B.3f′(1)C.f′(1)D.f′(3)答案:A4.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=(x-1)3+3(x-1)B.f(x)=2(x-1)C.f(x)=2(x-1)2D.f(x)=x-1解析:先求f(x)的导函数,再代入验证.当f(x)=(x-1)3+3(x-1)时,f′(x)=3(x-1)2+3且f′(1)=3(1-1)2+3=3.答案:A5.(2010·新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为()A
6、.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+2解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2,所以在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选A.答案:A题型一利用导数定义求导数解题准备:根据导数的定义求函数的导数是求导数的基本方法,应熟练掌握,关键是变形,找出分子与分母的对应关系.典例研习：[解题感悟]利用定义法求导数,要先求出Δy,然后分离出与Δx无关的量,再求解.题型二利用求导公式求导数解题准备:1
7、.运用可导函数求导法则和导数公式,求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的导数的基本步骤:(1)分析函数y=f(x)的结构和特征;(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导;(3)整理得结果.2.对较复杂的函数求导时,应先化简再求导,特别是对数函数真数是根式或分式时,可用对数的性质把真数转化为有理式或整式求解更为方便.[解](1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx;(2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xln3•ex+3
8、xex-2xln2;=(ln3+1)•(3e)x-2xln2;类型三导数的几何意义及应用解题准备:求曲线切线方程的步骤是:①求导数f′(x);②求斜率k=f′(x0);③写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).但是要注意,当函数f(x)在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切线,同时还必须明确P(x0,y0)为切点.[分析]求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标,求出切线的斜率,再通过点斜式得切线方程.[解题感悟]利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件:(1)函数在切点处的导数值也就是
9、切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标.(2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.错源一因忽视解题顺序而致错易错扫描：[剖析]f(x)在点x0处的导数f′(x0),实际上是导函数f′(x)在x=x0处的函数值,即f′(x0)=f′(x)
10、x=x0.故求f(x)在x0处的导数f′(x0),应先求f(x)的导函数f′(x),再将x=x0代入
