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1、1.(2016山东高考)已知数列的前n项和Sn=3n2+8n,是等差数列,且(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)令求数列的前n项和Tn.【解析】(Ⅰ)因为数列的前项和,所以,当时,,又对也成立,所以.又因为是等差数列,设公差为,则.当时,;当时,,解得,所以数列的通项公式为.(Ⅱ)由,于是,两边同乘以2,得,两式相减,得.2.(2016年上海高考)若无穷数列满足:只要,必有,则称具有性质.(1)若具有性质,且,,求;(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,5,判断是否具有性质,并说明理由;(3)设是无穷数
2、列,已知.求证:“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.【解析】试题分析:(1)根据已知条件,得到,结合求解.(2)根据的公差为,的公比为,写出通项公式,从而可得.通过计算,,,,即知不具有性质.(3)从充分性、必要性两方面加以证明,其中必要性用反证法证明.试题解析:(1)因为,所以,,.于是,又因为,解得.(2)的公差为,的公比为,所以,..,但,,,所以不具有性质.(3)[证]充分性:当为常数列时,.对任意给定的,只要,则由,必有.充分性得证.必要性:用反证法证明.假设不是常数列,则存在,5使得,而.下面证明存
3、在满足的,使得,但.设,取,使得,则,,故存在使得.取,因为(),所以,依此类推,得.但,即.所以不具有性质,矛盾.必要性得证.综上,“对任意,都具有性质”的充要条件为“是常数列”.3.(2016四川高考)已知数列{}的首项为1,为数列{}的前n项和,,其中q>0,.(I)若成等差数列,求an的通项公式;(II)设双曲线的离心率为,且,证明:.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.解析:(Ⅰ)由已知,两式相减得到.又由得到,故对所有都成立.所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.从而.由成等比数列,可得,即,则,由已知,,故
4、.所以.5(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.所以双曲线的离心率.由解得.因为,所以.于是,故.4.(2016天津高考)已知是各项均为正数的等差数列,公差为,对任意的,是和的等比中项.(Ⅰ)设,求证:是等差数列;(Ⅱ)设,求证:【解析】⑴为定值.∴为等差数列⑵(*)由已知将代入(*)式得∴,得证5.(2016年全国II高考)为等差数列的前n项和,且记,其中表示不超过的最大整数,如.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求数列的前1000项和.【解析】⑴设 的公差为,,∴,∴,∴.∴,,.5⑵ 记的前项和为,则.当时,;当时,;当时,;当时,.∴.6.(20
5、16全国III高考)已知数列的前n项和,其中.(I)证明是等比数列,并求其通项公式;(II)若,求.【解析】5
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