高阶导数及其应用.ppt

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1、第四节高阶导数及其应用2.4.1高阶导数的概念2.4.2二阶导数的意义2.4.1高阶导数的概念一、引例二、概念和公式的引出一、引例[加速度的表示]我们知道，变速直线运动的速度是路程函数关于时间的导数，即或，而加速度又是速度关于时间的导数，即或我们称这种导数的导数或为对的二阶导数．二、概念和公式的引出阶导数对于函数，称的导数为函数的二阶导导数，记作或类似地，二阶导数的导数称为的三阶导数，记作或的阶导数的导数称为的阶导数，记作或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．2.3.1二阶导数的意义一、引例二、概念和公式的引出三、案例1985年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会和参议院削减了国防预算．但

2、是他的对手却反驳道，国会只是削减了国防预算增长的变化率．换句话说，若用表示预算关于时间的函数，那么预算的导数预算仍然在增加，只是即预算一、引例[国防预算]的增长变缓了．二、概念和公式的引出曲线的凹、凸与拐点在区间上任意作曲线的切线若曲线总是在切线上方，则称此曲线在区间上是凹的；若曲线总是在切线下方，则称此曲线在区间上是凸的；曲线凹、凸性的分界点称为曲线的拐点．内具有二阶导数，如果对于任意，有：曲线凹凸性的判定设函数在闭区间上连续，且在开区间(1)，则函数在区间上是凹的；(2)，则函数在区间上是凸的．三、案例案例1[通货膨涨]设函数表示在时刻t某种产品的价格，则在通货膨涨期间，将迅速增加。请

3、用的导数描述以下叙述：(1)通货膨涨仍然存在。(2)通货膨涨率正在下降。(3)在不久的将来，物价将稳定下来。案例2[刹车测试]在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车行驶的距离（单位：m）与时间(单位：s)满足求汽车在时的速度和加速度．解汽车刹车后的速度为：(m/s)汽车刹车后的加速度为：案例3[水量增加量]如果一个容器中的水量随着时间符号分别为什么？(如右图)的增加而增加，但增加量越来越小，则的正、负解因为水量随着时间的增加而增加，所以但因为增加量越来越小，所以案例4[股票曲线]假设代表在时刻某公司的股票价格请根据以下叙述判定的一阶、二阶导数的正、负号．（1）股票价格上升得越来越快；（2

4、）股票价格接近最低点；（3）如图所示为某种股票某天的价格走势曲线，请说明该股票当天的走势．解（1）股票价格上升得越来越快，一方面说明股票价格在上升另一方面说明上升的速度也是单调增加的，即（图（2））（2）股票价格接近最低点时，应满足（3）从图（1）所示的某股票在某天的价格走势曲线可以看出，此曲线是单调上升且为凸的，这说明该股票当日的价格上升得越来越慢．