高阶方向导数及其应用

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1、第36卷第8期北京工业大学学报Vol．36No．82010年8月JOURNALOFBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGYAug．2010高阶方向导数及其应用隋允康(北京工业大学机械工程与应用电子学院，北京100124)摘要:将多元函数方向导数概念予以推广，在得到二阶方向导数定义和计算公式后，给出了多元函数的高阶方向导数．提出了高阶方向导数的应用:1)把一元函数性质推广到多元函数的一般途径;2)得到多元函数取极值的必要条件和充分必要条件;3)利用二阶方向导数解释了矩阵半正定和半负定的几何

2、意义;4)揭示出线性方程组当矩阵正定或负定时，背后存在的一个极值问题．5)推导出多元函数的Taylor展式．关键词:方向导数;高阶方向导数;半正定矩阵;半负定矩阵;多元函数的Taylor展式中图分类号:46G05文献标志码:A文章编号:0254－0037(2010)08－1135－060引言［1-6］方向导数是数学分析中一个重要的概念，迄今为止，没有从文献中查到高阶方向导数的概念．本文定义了高阶方向导数，推得了其计算公式，并且探讨了它的应用．一般《数学分析》教科书中，均介绍了二元乃至三元函数的方向导数．如

3、图1所示，对于二维空间中一阶可导函数f(x)=f(x1，x2)，在给定的x点、沿给T定方向l=［cosθ，sinθ］的方向导数定义为ff(x+αl)－f(x)=lim(x≥0)(1)lα→0‖αl‖图1二元函数在x点沿l方向变化率示意可见，方向导数与偏导数为函数变化率的本质是Fig．1Thechangeratesofthetwo-dimensional一样的，不同之处仅在于:预先给定了函数在某个点functionatapointxinadirectionl变化的一个任意的空间方向，取代了偏导数只能沿某

4、一坐标轴的方向．由式(1)得ff(x+αl)－f(x)f(x1+αcosθ，x2+αsinθ)－f(x1，x2)=lim=lim=lα→0‖αl‖α→0αf(x+αcosθ，x+αsinθ)－f(x，x+αsinθ)+f(x，x+αsinθ)－f(x，x)12121212lim=α→0αffffcosθΔTcosθ+sinθ=[，]{θ}=flx1x2x1x2sinΔf(x)f(x)T其中f(x)=[，]是函数f(x)的梯度．x1x2将方向导数的概念从低维空间的函数推广到高维空

5、间的函数，详见如下定义．n11定义:设x，l∈E，f(x)∈C，‖l‖=1，α∈E，α≥0，则f(x)沿l方向的方向导数为ff(x+αl)－f(x)f(x+αl)－f(x)=lim=limlα→0‖αl‖α→0α收稿日期:2010-05-12．作者简介:隋允康(1938—)，男，辽宁大连人，教授，博士生导师．1136北京工业大学学报2010年令f(x+αl)=F(α)，则得nfF(α)－F(0)fd(xi+αli)ΔT=lim=F'(α)

6、=·

7、=flα=0∑α=0lα→0αi=1(xi+αl

8、i)dα其中ΔffTf=[，…，]x1xn另外一种推导方法是利用L'Hospital法则nff(x+αl)－f(x)df(x+αl)dαf(x)ΔT=lim=lim=l=fl[]∑ilα→0αα→0dαdαi=1xi1高阶方向导数1.1二阶方向导数的定义n2设x，l∈E，f(x)∈C，f(x)/l为函数f(x)在点x处l方向的方向导数，定义函数f(x)的二阶方向22导数f(x)/l为方向导数f(x)/l在点x处沿l方向的方向导数．1.2二阶方向导数的计算因f(x)ΔTTΔ=f

9、(x)l=lf(x)l故2Δf(x)ΔΔf(x)f(x)TTT==l=l(lf(x))=2()()llllΔΔΔΔΔTTTT2l(lf(x)+f(x)l)=lf(x)l上面推导中用到了2点:ΔT1)常向量l的梯度是零向量，l=0;ΔΔΔTTT2)(ab)=ab+ba，证明如下:nnnΔΔΔΔΔT(ab)=ab=(ab)=［(a)b+a(b)］=(∑ii)∑ii∑iiiii=1i=1i=1ΔΔΔΔΔΔTT(a…a)b+(b…b)a=ab+ba1n1n以上二阶方向导数的结论，也可以用分量求导

10、得出．因nf(x)f(x)=l∑ili=1xi故2nnnn2Δf(x)f(x)f(x)T2=ll=ll=lf(x)l2∑(∑i)j∑∑ijlj=1xji=1xij=1i=1xixj1.3任意阶方向导数及其计算nmm－1m－1设x，l∈E，f(x)∈C，f(x)/l为函数f(x)在点x处沿l方向的m－1阶方向导数，定义函数mmm－1m－1f(x)的m阶方向导数f(x)/l为m－1阶方向导数f(