高阶导数的应用-作业

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1、高阶导数的应用一、用多项式近似表达函数──泰勒公式如果我们能用一个简单的函数来近似地表示一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?[定理1]设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导数，那么其中Rn(x)＝(ξ在0与x之间)上式称为函数f(x)在x＝0点附近关于x的泰勒展开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。当x→0时，拉格朗日余项Rn(x)是关于的高阶无穷小量，可表示为Rn(x)＝O()。O()称为皮亚诺余项。这样，函数f(x)在x＝0点附近的泰勒展开式又表示为

2、：一般地，函数f(x)在x＝x0点附近泰勒展开式为：二、几个初等函数的泰勒公式例1、求函数f(x)＝在x＝0点的泰勒展开式解：∵f'(x)＝f"(x)＝…＝f(n)(x)＝∴f(0)＝f'(0)＝f"(0)＝…＝f(n)(0)＝1于是，在x＝0点的泰勒展开式为：在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式例2、求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式例3、求函数f(x)＝cosx在x＝0点的泰勒展开式例4、求函数f(x)＝ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式三、罗必塔法则1.不定式[定理1]如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于零，在点a的某一邻域内(点a除外)

3、，f’(x)、g’(x)均存在，g’(x)≠0，且存在(或无穷大)，则证明：根据柯西定理有∵ξ在x与a之间，∴当x→a时ξ→a∵，，∴这说明求可导函数与商的极限时可以转化为求它们导数的商的极限。当x→∞时，上述定理也成立。例1、求极限解：当x→0时原式是型的不定式，用罗必塔法则有例2、求极限例3、求极限2.不定式[定理2]如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于无穷大，在点a的某一邻域内(点a除外)，f'(x)、g'(x)均存在，g'(x)≠0且存在(或无穷大)，则当x→∞时，上述定理也成立。例1、求解：当x→0+时原式是型的不定式，用罗必塔法则有例2、证明当a＞

4、0时，＝0