资源描述：
《《A导数高阶》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§3.高阶导数函数f(x)的导数f'(x)又称为f(x)的一阶导数（导函数），则称其为y=f(x)的二阶导数，记为位置函数s=s(t)在时刻t的速度仍是t的函数，称为运动的加速度，a=二阶导数的导数称为三阶导数，…一般，n–1阶导数的导数称为n阶导数,记作二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。f(x)可看成零阶导数。例题讨论例1：解：例2：解：求n阶导数：多次接连地求导数，直至找到规律。例：求下列函数的n阶导数：显然，y(n+1)=0.n次多项式的一切高于n阶的导数均为0.解：一般：解：特别，当a=e时，解：解：解：解：…
2、…同理，解：……解：若u(x),v(x)在点x处都具有n阶导数，则有：——莱布尼兹公式见P.101例8课外作业习题集2-5（A）1（6，7，10）、8、9、10习题集2-5（B）4（4，6，7，10）、5（3）、6§4.隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数一般地，如果在方程F(x,y)=0中，当x在某区间内取任一值时，相应地总有满足这方程的y值存在，那么就说方程F(x,y)=0在这区间内确定了y是x的函数，——显函数——隐函数把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。对y5+2y-x=0,必存在y=
3、f(x),对隐函数的求导方法：①方程两边同时对x求导；②方程中函数(如y)看成中间变量。由代数基本定理知，但因无法解出y而不能显化。例题讨论例1：解：方程两边同时对x求导：例2：求由方程xlny+ex+y=e所确定的隐函数y在x=0处的切线方程与法线方程。解：在x=0处的切线方程：即点(0,1)法线方程：方程两边对x求导：例3：注意：写出解：方程两边对x求导：在(*)两边再对x求导：(*)=0.对数求导法1.对因式的积商求导例：解：两边取对数：2.对幂指函数y=u(x)v(x)求导例1：解一：利用复合函数求导法则，解二
4、：两边取对数：利用对数求导法两边求导数：例2：解：两边取对数：两边再取对数：两边求导数：例3：解：两边取对数：两边对y求导：二、由参数方程所确定的函数（参量函数）的导数例题讨论例1：解：例2：切线方程与法线方程。解：三、相关变化率函数x=x(t),y=y(t)均可导，这种相互依赖的变化率称为相关变化率。从其中一个变化率可求出另一个变化率。又有y=f(x)或x=g(y),从而变化率方法：1.建立变量x与y的等量关系，2.关系式中x,y都对第三个变量t求导，3.从一个已知变化率求另一相关变化率。例：参见P.110例10（自
5、学）课外作业习题集2-6（A）1（3，5,6）、4、5、6(3，4)、7(2)习题集2-6（B）1（4，5，6，10）、2、3（2，3，5）、5§5.函数的微分对y=f(x),当x有增量的函数，再如：y=x4,∴要找简单的便于计算的△y的近似表达式。一、微分的概念如：y=cosx,1.引例一块边长为x0的正方形金属薄片，受热膨胀后边长为x0+△x,求薄片面积的改变量。x0x0x02x0+△x△x△x△x2正方形面积：面积改变量：对满足一定条件的函数y=f(x)，当自变量在点x处有增量△x时，我们的目的是寻求函数的增量△
6、y关于△x的一次近似式，且使近似的误差是△x的高阶无穷小，2.微分的定义其中A是不依赖于△x的常数，则称y=f(x)在点x0是可微的，微分，记作dy,即dy=A△x.3.函数可微的条件定理：函数f(x)在点x0处可微函数f(x)在点x0处可导证：∵f(x)在点x0处可微，f(x)在点x0处可导。说明：是自变量x的一个任意增量，且与x无关。又称dy为△y的线性主部（当△x→0），(3)为统一起见，也称△x为自变量x的微分，记作dx,即△x=dx,∴在x0处的微分(4)f(x)在任意点处的微分称为函数的微分又称为“微商”，
7、dy与dx是独立的。例题讨论例1：解：=0；(1)(2)例2：例3：解：解：二、微分的基本微分公式与运算法则1.基本微分公式参见P.1052.四则运算法则设u(x),v(x)可微，(C:常数)由微分公式也可得3.复合函数的微分法则无论变量是自变量还是中间变量，其微分形式都保持不变，微分的这种性质称为一阶微分形式的不变性。例1：例2：填空：解：三、微分的几何意义与应用曲线y=f(x),xy0M0.M.Tx0y=f(x)△y是函数在曲线M0点处纵坐标上的增量；dy是函数在M0点处的切线纵坐标上的增量。PQM0Q=△x,MQ
8、=△y,∴dy=PQ右式即为f(x)的一阶近似式。特别，取x0=0,有例：利用微分求e0.02的近似值。解：课外作业习题集2–73（4，5，6,10)、41,2（做在书上），4，5（2），6，7（4），9（2），10，11（1），12总复习题习题集2–86,7(2),10(1),13,15
