《gs高阶导数》PPT课件

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1、设y=f(x),若y=f(x)可导,则f'(x)是x的函数.若f'(x)仍可导,则可求f'(x)的导数.记作(f'(x))'=f''(x).称为f(x)的二阶导数.若f''(x)仍可导,则又可求f''(x)的导数,….§4－3　高阶导数一般,设y=f(x)的导数y'=f'(x)存在且仍可导,记f'(x)的导数为称为f(x)的三阶导数.二阶导数.称为f(x)的称为f(x)的n阶导数.二阶以上的导数都称为高阶导数.记Cm(I)为区间I上所有具有m阶连续导数的函数所成集合.为统一符号,有时记y(0)=y,y(1)=y',y(2)=y''.例1.设物体作变速运动.在[0,t]这段时间内

2、所走路程为S=S(t),指出S''(t)的物理意义.解:我们知道,S'=V(t).而S''=V'(t)注意到,V=V(t+t)V(t)表示在[t,t+t]这段时间内速度V(t)的增量(改变量).从而故即,S''=V'(t)=a(t)为物体在时刻t的加速度.例2.解:从而=0例3.解:y'=nxn–1,y''=n(n–1)xn–2,y(3)=n(n–1)(n–2)xn–3,…,y(n)=n(n–1)…3·2·1xn–n=n!而y(n+1)=(n!)'=0易见,若f(x),g(x)均存在n阶导数,则类似,设f(x)=a0xn+a1xn–1+a2xn–2+…+an–1xn+a

3、n,为n次多项式,则f(n)(x)=a0n!,而f(n+1)(x)=0例4.解:(1)y'=ex,y''=ex2,y(3)=ex3,…,故y(n)=exn.特别,取=1,得(ex)(n)=ex(ax)(n)=(exlna)(n)取=–1,得(e–x)(n)=(–1)(n)ex.(2)由于ax=exlna,由(1)得=ax(lna)n=exlna(lna)n例5.求y=sinx的n阶导数y(n).解:我们知道y'=cosx,y''=–sinx,y(3)=–cosx,y(4)=sinx,…但y(n)的通项公式难写,并且不好记.从而=cosx例6.设y=s

4、in2x,求y(n).解:y'=(sin2x)'y''=(sin2x)'=sin2x.=2sinxcox……例7.求y=ln(1+x)的n阶导数.解:……定理1.设u=u(x),v=v(x)在点x处具有n阶导数,则u·v=u(x)v(x)在点x处也有n阶导数,且证:用数学归纳法证明.当n=1时,(uv)'=u'v+v'u,公式成立.设n=m时公式成立,即两边求导,得到当n=m+1时,有例8.设y=x2sinax的10阶导数y(10)解：y=sin(ax)x2,记u=sinax,v=x2由于v(3)=v(4)=v(10)=0而故例9.设解：注意到故由于故一般，若则y可分解成其

5、中A,B可用待定系数法确定.从而可按例9的方法求y(n).例10.求由方程xy+siny=0所确定的隐函数y=y(x)的二阶导数.解：先求y=y(x)的一阶导数.两边对x求导,y是x的函数解出y',再求y'',将y'的表达式代入得例11.设y=y(x)由ex+yxy=1所定,求y''(0).解：方程两边对x求导,y是x的函数,得(1+y')ex+yyxy'=0易见,当x=0时,y=0,且y'(0)=1.方程(1+y')ex+yyxy'=0两边再对x求导,此时,y,y'都是x的函数,有y''ex+y+(1+y')2ex+yy'(y'+xy'')=0即y''ex+

6、y+(1+y')2ex+y2y'xy''=0.将x=0,y=0,及y'(0)=1代入,得y''(0)=2现在有参数方程x=(t)因此设参数方程x=(t)y=(t)例12.设x=acos3ty=asin3t,求解：一阶导数得到x=acos3t从而例13.设x=a(tsint)y=a(1cost),求解：得到x=a(tsint)从而例14.解:x=0是分段函数f(x)的分段点.由定义,f''(0)=(f'(x))'

7、x=0因此,为讨论f''(0),须求出f'(x)及f'(0).(1)故f'(0)=0.(2)当x<0时,f(x)=x2.从而f'(x)=2x.当x>

8、0时,f(x)=sinx–x.从而f'(x)=cosx–1.综合(1),(2)(3)故f''(0)不存在.例15.解：f(0)=0当x0时,即f'(0)=0.从而f'(0)=0.同理f''(0)=0.事实上故f(3)(0)不存在.使f(n)(0)存在的最高阶数n=2.例16.设解：法1.x't=2.第二个方程两边对t求导,y是t的函数.得从而即x't=2.从而法2.消参数t,得两边对x求导,得即