《高阶导数》PPT课件(I)

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1、高阶导数一、高阶导数的定义二、高阶导数求法举例三、小结思考题一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.定义记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,二、高阶导数求法举例例1解1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例2解例3解注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,而应分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)例4解同理可得2.高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式例5解3.间接法:常用高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.例6解如何求隐函数的二阶导数？下面通过例子介绍。

2、下页解上式两边再对x求导得方程两边对x求导得的二阶导数例7求由方程所确定的隐函数yy1xeyyeyxeyy于是.提示：如何求参数方程所确定的函数的二阶导数？下页例8解四、相关变化率相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例9解仰角增加率思考题思考题解答不对．2.2函数的微分一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求法六、微分形式的不变性七、小结思考题一、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?二、微

3、分的定义定义(微分的实质)由定义知:三、可微的条件定理证(1)必要性(2)充分性例1解四、微分的几何意义MNT）几何意义:(如图)P五、微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则例2解例3解六、微分形式的不变性结论：微分形式的不变性例4解例3解例5解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.七、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★导数与微分的区别:★思考题思考题解答说法不对

4、.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.练习题练习题答案2.2.2微分在近似计算中的应用一、计算函数增量的近似值二、计算函数的近似值三、误差估计四、小结思考题一、计算函数增量的近似值例1解二、计算函数的近似值例2解常用近似公式证明例2解三、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.定义：问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得办法:将误差确定在某一个范围内.通常把绝对误

5、差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.例3解四、小结近似计算的基本公式练习题练习题答案2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.