探析解决数列不等式问题的函数策略.pdf

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1、．２９．２０１７年第４期中学数学研究探析解决数列不等式问题的函数策略浙江省绍兴鲁迅中学（３１２０００少春）陈２２数列是一个定义在正整数集（或其子集）上的丄丄！丄丄＿ａ－＋＜＿＿＿—＋＝（）（）４函数它丰富２４１＋１２４特殊，了学生所接触的函数概念的范围，＇引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的—＝－＝－－－ａａａａ＋，＋ｔｌｋ＼｛ｋ）ｋ＋１ｋ＋２２问题更有新意和综合性更能有效地培养学生的思（），２［－＝维品质和创新意识？因

2、此我们在解决数列问题时可彡＋＞，（）题也＋Ｈ＋元＾，命４＋以从它的源头—、本质函数的角度去解决它，充成分利用函数的有关知识，以函数的概念、图像、性质、Ｌａ、＊士丁救抓地＊、述▲题朗对４所防女从’该的正整数都成Ｉ为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间．十巧２ｆ１＝＿’＋ａ＋ａ？ＷＷ的２２内在联系，比如数列的放缩、单调性可以借助函数…－＝＋＋＼＿ａ又ａ？＋１Ａ？＋１，＋所以的单调性方法放缩、判断，数列的最大（小）项可以？１ｎ利用函数图像的直观性来比较，

3、从而有效地解决数ｉ丨ｎ列不等式问题．下面笔者通过具体的例子尝试从函Ｓ？一２（ｎ＋ｌ）＝￣￣￣＿＾＝＂数的角度处理数列不等式问题，希望对考生处理数：ｎｎｎ列问题有些许帮助．ｉ＿ａ―１、函数单调性处理数列递推问题Ｘａ矣一Ｌ主＝彡；？＋，ｎ１＾所以）ｎ＋２ｎｎ数列和的不等式问题的矛盾在于数列相邻两项的递推关系的发现，有时候从函数单调性角度去入Ｙ（ｎ＋２）１￣￣￣＾＝￣￣＝手则事半功倍？ｎ２ｎ＋２｛Ｙ１１１例（２０５年浙

4、江理２已知ａ一ｊ？足例）数列｜满２（２０１５年绍兴模理２１已知）数列卜？丨＝２＝ａｅ０１０＜ａ－＝＿Ｔ满足（矣ａａａａ＝ａａｎｅＡ，）’且且＋（．？＋１：：，设，争？１？？）ａ－ａａ（ｎｎ＋）ｎ＋．ｌ１证明ｉ／ｒ⑴：ｅ）；－（ｉ）比较？２和的大小￥；＊２ａｎ证明ｎ－－（）设数列前项和为Ｓ｜〗｜的？，，，＾ＡＳ（２）求证：＞１１？Ｔ／ａ名ＥＡ．Ｖ．广丄？）９、Ａ；ｎＵＵｒ为数列｜６！ｎ项和证７＜（３）

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6、矣立＝７＝＋……，，命题成故＋６＋６矣；＋ａ＋士士；＼２？备（４；＝２ａ…②假设当ｎＡ时，命题成立矣＋ａ矣＋＋＋ａ＝，即３）［ｉ点盖（＾ｒ）Ｈ备么当找＝＝—＝：１，那Ａ＋时ａａ，ａｔ＋ｌｔｆ办＋１？？３０中学数学研究２０１７年第４期＂１－（）求证７＜．：①ｒ？＜＾２；②；ａ＋詳５＝一＝１－解１＋１退：（）由、＼位得１６ｌｎ＞２两式相减可得２ａ＝＝二、函数恒成立处理数列有界性、求和问题

7、（），：？，即，〇＾士＂＂＇找到数列任意两项之间的关系，再分离变量转？ｉｊ＿？又Ａ＝ａ＝．．？？．，数列Ｕ？１为等比数列，？（）化成函数恒成立问题是解决数列有界性的关键．了了例３（２０１６年浙江理２０）设数列满足卩＊１１——￣二＝－ｒ＝ａ１ｎｅＮ．２ｃＴ＋ｃ＋ｃ＼ｎ＾］＾，（）ｎ＾，ｎｑ２３１２一丄１－１（）＊－２１Ｉ２Ｔ（）证明Ｉａｌａ《ｅＶ：），；？，…＝＝＋＋ｃ？当ｎ１时１〈

8、ｎ彡２，ｑ当时，令（２丨ａｌ／ｉｅＷ证明Ｉａ丨矣２？；）若（，，：？，？如了７１￡Ｎ■＝＝矣入．＞Ａ设函数／（？（＋））＊１１－丨专ｌ／ｉ／Ｖ？证明丨ｅ：（）由％，，得２２ｅＷ３為２），易知函数／Ｕ）为单调减函＿—－Ｕ２２丨矣１丨多丨ａＩａｊ＋即Ｕ？＋，也即，Ｊ？１，，＋２数ｎ＝２ｎ大值为＋可取＝，把代入得／（）的最Ａ３－卜２丨２多２１ａＩ