6 多元函数微积分-空间解析几何1.ppt

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1、第六章多元函数微积分1.坐标系:空间取定一点O,过点O作三条互相垂直的轴Ox、Oy、Oz。如图所示的数轴组成右手坐标系。Oxa常数yb常数zc常数zyxM(a,b,c)P(a,0,0)Q(0,b,0)R(0,0,c)I.空间解析几何简介一空间直角坐标系.空间的点M的笛卡尔坐标(a,b,c)是过点M垂直于坐标轴的平面与该轴的交点在该轴上的坐标。笛卡尔坐标也称为直角坐标,因为这种坐标的轴以直角相交。.x轴上的点的y坐标和z坐标都是零,即它们的坐标是(x,0,0);而y轴上的点的坐标是(0,y,0);z轴上的点的坐标

2、就是(0,0,z)。z0y0zyxx0(0,0,0)2.坐标平面:每两条坐标轴可以确定一个平面,称为坐标平面。.由x轴和y轴确定的平面称为xy平面,它的标准方程是z0；由x轴和z轴确定的平面称为xz平面,它的标准方程是y0。.它们的交点是原点(0,0,0)。.三个坐标平面把空间分成八个称为卦限的部分。其点的所有坐标都是正数的卦限称为第一卦限。由y轴和z轴确定的平面称为yz平面,它的标准方程是x0；3.空间任意两点间的距离：设空间中两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2),过M1和M2各作三个

3、平面分别垂直于三条坐标轴。这些平面围成一个以M1M2为对角线的长方体。由图可知：

4、M1M2

5、2

6、M1S

7、2

8、M2S

9、2

10、M1N

11、2

12、NS

13、2

14、M2S

15、2

16、x2x1

17、2

18、y2y1

19、2

20、z2z1

21、2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2于是二平面1.平面的一般式方程垂直于平面的非零向量n叫作这平面的法向量因此这种形式的方程称为平面的一般式方程。AxByCzD0（其中A,B,C不全为零）例1:一动点M(x,y,z)与两定点M1(1,1,0),M2(2,0,2)的距离相等,求此

22、动点M的轨迹方程。解:依题意有

23、MM1

24、

25、MM2

26、，由两点间距离公式化简后得点M的轨迹方程为xy2z30，见下图。xyz例2:求三个坐标平面的方程。解:容易看到xy平面上任一点的坐标必有z0，见图。满足z0的点也必然在xy平面上,所以xy平面的方程为z0。同理，yz平面的方程为x0；xz平面的方程为y0。例3:作zc（c为常数）的图形。解:方程zc中不含x、y，意味着x与y可取任意值而总有zc，其图形是平行于xy平面的平面。可以由xy平面向上（c>0）或向下（c<0）平移

27、c

28、个单位得到。平

29、面的一般式方程的几种特殊形式：例4几何地解释如下方程和不等式。2.平面的截距式方程例5求过点的平面方程。这种形式的方程称为平面的截距式方程。(其中a、b、c分别称为平面在x轴、y轴、z轴上的截距)例6作出下面方程所表示的平面：3.两平面间位置的关系例71.定义:如果曲面S上的任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)0,而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)0,那么方程F(x,y,z)0称为曲面S的方程,而曲面S称为方程F(x,y,z)0的图形。三曲面有时，空间曲面也可用方程zf(x,y)来表示

30、。2.旋转曲面：一条平面曲线绕所在平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线叫做旋转曲面的轴。如球面，圆柱面都是旋转曲面。例8解:圆锥面方程或例9椭圆锥面3.柱面：一动直线沿定曲线平行移动所形成的轨迹叫柱面，定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线。例10:研究方程f(y,z)0所表示的曲面。解:该曲面是yz平面的曲线C：f(y,z)0沿x轴方向平行移动所得到的，这样的曲面称为柱面,曲线C称为柱面的准线,过C的平行于x轴的直线称为它的母线。准线母线下面只介绍母线平行于坐标轴，准线在坐标平面上的柱面

31、。一般地,只含x,y而缺z的方程f(x,y)0，表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xoy面上的曲线c。同理,缺少y的方程g(x,z)0，表示母线平行于y轴的柱面方程，缺少x的方程h(y,z)0，表示母线平行于x轴的柱面方程。例11:作x2y2R2的图形。解:方程x2y2R2在xy平面上表示以原点为圆心,半径为R的圆，此为准线。由于方程不含z，意味着z可取任意值，只要x与y满足x2y2R2即可。因此这个方程所表示的曲面，是由平行于z轴的直线沿xy平面上的圆x2y2R2移动而形成的圆柱面。准线x2

32、y2R2母线例12:作的图形。zxy=0yo例10:(1)识别曲面.椭球面xy平面上的椭圆yz平面上的椭圆椭圆zyxz0平面zz0上的椭圆横截面abc橄榄球(2)识别曲面.椭圆椭圆椭圆zyx双曲线双曲线zc平面上的椭圆xy平面上的椭圆xz平面上的双曲线的一支yz平面上的双曲线的一支单叶双曲面美国爆破核电站冷却塔(3)识别曲面.双叶双曲面z