多元函数微积分第一节空间解析几何

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1、第七章空间解析几何与向量代数§7.1向量及其线性运算§7.2数量积向量积混合积§7.4空间曲线及其方程§7.3曲面及其方程§7.5平面及其方程§7.6空间直线及其方程矢量纵横八卦，代数析解几何。一、背景知识应用代数方法研究图形性质的数学学科。1、解析几何──变量数学的开端。恩格斯曾指出，微积分是变量数学的最重要部分；他还说:“数学中的转折点是笛卡尔的变数。…有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生；…”所以学习微积分，除了应当具备初等数学的知识以外。还必须具备最初引入变数的学科──解析几何的基础知识。由于平面解析几何在中学已学过，所以本章仅介绍空

2、间解析几何及其所必须的向量代数的基本知识。2、解析几何的对象和方法。⑵曲线和方程的统一关系。3、笛卡尔关于解析几何的基本思想。⑴点和数一一对应的统一关系。4、空间解析几何的两个基本问题。⑵已知含有三个未知数的方程，研究这个方程表示曲面的几何性质。⑴把已知曲面看成点的几何轨迹，建立这个曲面的方程。一、背景知识5、笛卡尔简介(ReneDescartes1596~1650)法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。1596年3月31日生于图伦，1650年2月11日卒于斯德哥尔摩。他出生于一个贵族家庭。早年就读于拉弗莱什公学，因孱弱多病，被允许早晨在床上读书，养成

3、了喜欢安静、善于思考的习惯。1612年去普瓦捷大学攻读法学，四年后获得博士学位旋即去了巴黎。1618年从军，到过荷兰、丹麦、德国。1621年回国，正值法国内乱，又去荷兰、瑞士、意大利旅行。1625年返回巴黎。1625年移居荷兰，从事哲事哲、数学、天文学、物理学、化学和生物学等领域的研究，并通过数学家M.梅森神父与欧洲主要学者保持密切联系。他的著作几乎全都是在荷兰完成的。1628年写出«指导哲理之原则»，1634年完成以哥白尼学说为基础的«论世界»(因伽利略受到教会迫害而未出版)，1637年笛卡尔用法文写成三篇论文«折光学»、«气象学»和«几何学»并为此写了一篇序言«

4、科学中正确运用理性和追求真理的方法»，哲学史上简称«方法论»，6月8日在莱顿匿名出版。此后又出版了«形而上学的沉思»和«哲学原理»(1644)等重要著作。1649年冬，他应邀去为瑞典女王授课，1650年初患肺炎，同年2月病逝。二、教学计划1、教学内容及课时安排⑴向量及其线性运算3学时⑵数量积向量积混合积2学时⑶曲面及其方程3学时⑷空间曲线及其方程2学时2、教学重点⑴数量积向量积；⑵几何图形及其方程。⑸平面及其方程3学时⑹空间直线及其方程2学时习题课2学时三、基本要求3、掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表示式。1、理解空间直角坐标系、向量的概念及其表示。2、掌握向量

5、的运算(线性、点乘、叉乘)，了解两个向量垂直、平行的条件。4、掌握平面和直线的方程及其求法，会利用平面和直线的关系解决有关问题。5、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的曲面方程。7、了解曲线的交线在坐标平面上的投影。6、了解空间曲线的参数方程和一般方程。a安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§7.1向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影六、小结思考题⑴向量：既有大小又有方向的量。

6、如位移、速度、加速度、力等。⑵向量表示：模长为1的向量.⑸零向量：模长为0的向量.

7、

8、⑶向量的模：向量的大小.⑷单位向量：或或或一、向量的概念1、概念⑷单位向量：⑸零向量⑹自由向量：不考虑起点位置的向量.⑺相等向量：大小相等且方向相同的向量.⑻负向量：大小相等但方向相反的向量.⑼向径：空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.一、向量的概念2、两非零向量的关系⑴相等：大小相等且方向相同的向量.⑵平行或共线：方向相同或相反的两个非零向量.⑶垂直：方向成90°夹角的两个非零向量.注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为零向量与任何向量都平行或垂直。⑷共面：把若干

9、个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.1、向量的加减法二、向量的线性运算⑴加法：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）⑵向量的加法符合下列运算规律：①交换律：②结合律：③加负律：⑶减法二、向量的线性运算2、向量与数的乘法二、向量的线性运算⑴定义：⑵数与向量的乘积符合下列运算规律：①结合律：②分配律：⑶线性运算：向量的加法及数乘统称为向量的线性运算。例1化简解二、向量的线性运算例2试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.按照向量与数的乘积的规