2020高考数学大一轮复习第八章解析几何第四节椭圆检测理新人教A版.docx

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1、第四节椭圆限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级　基础夯实练1．(2018·太原一模)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(　　)A．(－3，0)　　　　　　　B．(－4，0)C．(－10，0)D．(－5，0)解析：选D.∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3，0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5，0)．2．(2018·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是(　　)A.＋＝1B．＋＝1或＋＝1C.＋＝

2、1D．＋＝1或＋＝1解析：选B.因为a＝4，e＝，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.3．(2018·湖北八校联考)设F1，F2分别为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)A.B．C.D．解析：选B.由题意知a＝3，b＝，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以

3、PF2

4、＝＝.又因为

5、PF1

6、＋

7、PF2

8、＝2a＝6，所以

9、PF1

10、＝2a－

11、PF2

12、＝，所以＝×＝，故选B.4．(2018·湖南百校联盟联考)已知椭圆

13、＋＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为(　　)A.B．C.D．解析：选A.因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即OC＝，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0＜e＜1，所以e＝.故选A.5．(2018·四川凉山州模拟)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是(　　)A.B．C.D．解析：选D.不妨令椭圆方程为＋＝1

14、(a＞b＞0)．因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，所以2b＝，即a＝3b，则c＝＝2b，则该椭圆的离心率e＝＝.故选D.6．(2018·贵阳模拟)若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，所以解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝17．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且

15、PF1

16、∶

17、PF2

18、＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．解析：因为

19、PF1

20、＋

21、PF2

22、＝14，又

23、PF1

24、∶

25、PF2

26、＝4∶3，所以

27、PF1

28、＝8，

29、PF2

30、＝6

31、.因为

32、F1F2

33、＝10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝

34、PF1

35、·

36、PF2

37、＝×8×6＝24.答案：248．(2018·海南海口模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT(O为坐标原点)的斜率为－，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，A，B和F1点坐标分别为(a，0)，(0，b)，(－c，0)，所以直线BF1的方程是y＝x＋b，OT的方程是y＝－x.联立解得T点坐标为，直线AT的斜率为－.由AT⊥BF1得，－×＝－1，∴3b2＝4ac＋c2

38、，∴3(a2－c2)＝4ac＋c2，∴4e2＋4e－3＝0，又0＜e＜1，所以e＝.答案：9．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－)，所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，由已知条件得解得a＝4

39、，c＝2，所以b2＝12.故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.10．(2018·兰州市诊断考试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点(，1)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为－.若动点P满足＝＋2，求点P的轨迹方程．解：(1)因为e＝，所以＝，又椭圆C经过点(，1)，所以＋＝1，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝＋2得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2