最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第三章导数及其应用.docx

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1、第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算专题1导数的概念与几何意义■(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,导数的概念与几何意义,选择题,理3)函数y=x3的图象在原点处的切线方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.y=xB.x=0C.y=0D.不存在解析:由f'(x)=3x2,得f'(0)=0,所以f(x)在原点处的切线方程为y=0,故选C.答案:C3.2导数与函数的单调性、极值、最值专题1导数与函数的单调性■(2015东北三省三校高三二模,导数与函数的单调性,选择题,理12)若函数y

2、=sin2x+acosx在(0,π)上是增函数,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.(-∞,0)D.(0,+∞)解析:依题意,当x∈(0,π)时,y'=2×cos2x-asinx≥0,即a≤-2sinx恒成立.令t=sinx,则当x∈(0,π)时,t∈(0,1],函数y=-2t在区间(0,1]上是减函数,所以函数y=-2t在区间(0,1]上的最小值是y

3、t=1=1-2×1=-1,于是有a≤-1,实数a的取值范围是(-∞,-1],故选A.答案:A专题2导数与函数的极值■

4、(2015江西八所重点中学高三联考,导数与函数的极值,解答题,理21)已知f(x)=x2+ax+sinx,x∈(0,1).(1)若f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;(2)当a=-2时,记f(x)得极小值为f(x0),若f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2x0.解:(1)f'(x)=2x+a+cosx,x∈(0,1).依题意f'(x)≥0恒成立,2x+cosx≥-a,令g(x)=2x+cosx,x∈(0,1),g'(x)=2-sinx,∵g'(x)在x∈(0,1)单调递减,且g'(0

5、)>0,g'(1)<0,∴g'(x)在(0,1)上存在唯一零点x0.∴g(x)在(0,ξ)上单调递增,在(ξ,1)上单调递减,由得a≥-.(2)当a=-2时,f(x)=x2-2x+sinx,x∈(0,1),f'(x)=2x-2+cosx.令φ(x)=f'(x),x∈(0,1),φ'(x)=2-sinx,显然φ'(x)在(0,1)单调递减,又φ'(0)=2>0,φ'(1)=2-<0.故存在唯一实数ξ,使得φ'(ξ)=0.∴φ(x)在(0,ξ)上单调递增,在(ξ,1)上单调递减.即f'(x)在(0,ξ)

6、上单调递增,在(ξ,1)上单调递减.又f'(0)=-2+<0,f'(1)=0,∴f'(ξ)>0,由f'(x0)=0,知0

7、2f'(x0)=0,∴F(x)在x∈(0,1)上单调递减,∴F(x)2x0.■(2015东北三省三校高三第一次联考,导数与函数的极值,解答题,理21)已知a是实常数,函数f(x)=xlnx+ax2.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线

8、过点A(0,-2),求实数a的值;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1f(x1)>-.解:(1)由已知得f'(x)=lnx+1+2ax(x>0),切点坐标为(1,a),切线方程为y-a=(2a+1)(x-1),把(0,-2)代入解得a=1.(2)证明:①依题意得f'(x)=0有两个不等的实数根x1,x2(x10),(ⅰ)当a≥0时,g'(x)>0,g(x)是增函数,不符合题意

9、;(ⅱ)当a<0时,由g'(x)=0,得x=->0,则g(x),g'(x)的变化情况为x-g'(x)+0-g(x)↗极大值↘依题意得g=ln>0,解得-f(x1).又f'(1)=g(1)=2a+1>0,故x1∈(0,1),由