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1、第十四章选修模块14.1几何证明选讲专题2相似三角形的判定与性质■(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,相似三角形的判定与性质,解答题,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,☉O的半径为6,线段AB与☉O相交于点C,D,AC=4,∠BOD=∠A,OB与☉O相交于点E.(1)求BD的长;(2)当CE⊥OD时,求证:AO=AD.解:(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OCA=∠ODB.∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC,∴.∵OC=OD=6,AC=4,∴,∴BD=9.(2)证明:∵OC=OE,CE⊥OD,∴∠COD=∠BOD=∠A.∴∠
2、AOD=180°-∠A-∠ODC=180°-∠COD-∠OCD=∠ADO.∴AD=AO.■(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,相似三角形的判定与性质,解答题,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的一条切线,切点为B,直线ADE,CFD,CGE都是☉O的割线,已知AB=AC.(1)求证:FG∥AC;(2)若CG=1,CD=4,求的值.解:(1)证明:因为AB为切线,AE为割线,所以AB2=AD·AE,又因为AC=AB,所以AD·AE=AC2.所以,又因为∠EAC=∠DAC,所以△ADC∽△ACE,所以∠ADC=∠ACE,又因为∠ADC=∠
3、EGF,所以∠EGF=∠ACE,所以FG∥AC.(2)由题意可得G,E,D,F四点共圆.所以∠CGF=∠CDE,∠CFG=∠CED.所以△CGF∽△CDE,所以.又因为CG=1,CD=4,所以=4.专题4圆周角、弦切角及圆的切线■(2015银川二中高三一模,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,已知AB为圆O的直径,C,D是圆O上的两个点,CE⊥AB于点E,BD交AC于点G,交CE于点F,CF=FG,求证:(1)C是劣弧BD的中点;(2)BF=FG.证明:(1)∵CF=FG,∴∠CGF=∠FCG.∵AB为圆O的直径,
4、∴∠ACB=∠ADB=.∵CE⊥AB,∴∠CEA=.∵∠CBA=-∠CAB,∠ACE=-∠CAB,∴∠CBA=∠ACE.∵∠CGF=∠DGA,∠DGA=∠ABC,∴-∠DGA=-∠ABC,∴∠CAB=∠DAC,∴C为劣弧BD的中点.(2)∵∠GBC=-∠CGB,∠FCB=-∠GCF,∴∠GBC=∠FCB,∴CF=FB,∴BF=FG.专题5圆内接四边形的判定及性质■(2015辽宁大连高三双基测试,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,已知☉O1与☉O2相交于A,B两点,P是☉O1上一点,PB的延长线交☉O2于点C,PA
5、交☉O1于点D,CD的延长线交☉O1于点N.(1)点E是上异于A,N的任意一点,PE交CN于点M,求证:A,D,M,E四点共圆;(2)求证:PN2=PB·PC.证明:(1)连接AB,∵A,B,P,E四点共圆,∴∠ABC=∠E.又∵∠ABC=∠ADC,∴∠ADC=∠E,∴A,D,M,E四点共圆.(2)连接BN,∵∠PNB=∠PAB=∠C,∠BPN=∠NPC,∴△PNB∽△PCN,,∴PN2=PB·PC.■(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理22)选修4-1:几何证明选讲如图,已知AB是☉O的直径,CE⊥AB于点H,
6、与☉O交于点C,D,且AB=10,CD=8,DE=4,EF与☉O切于点F,BF与HD交于点G.(1)证明:EF=EG;(2)求GH的长.解:(1)证明:连接AF,OE,OF,则A,F,G,H四点共圆.∵EF是切线,∴OF⊥EF,∴∠FGE=∠BAF=∠EFG,∴EF=EG.(2)∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2,∴EF2=OH2+HE2-OF2=32+82-52=48,∴EF=EG=4,∴GH=EH-EG=8-4.专题6圆的切线的性质与判定■(2015江西八所重点中学高三联考,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)选修4-1:几何证明选讲如图
7、,直线PQ与☉O相切于点A,AB是☉O的弦,∠PAB的平分线AC交☉O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于Q点.(1)求证:QC·BC=QC2-QA2;(2)若AQ=6,AC=5,求弦AB的长.解:(1)证明:∵PQ与☉O相切于点A,∴∠PAC=∠CBA.∵∠PAC=∠BAC,∴∠BAC=∠CBA,∴AC=BC=5.由切割线定理得QA2=QB·QC=(QC-BC)QC,∴QC·BC=QC2-QA2.(2)由AC=BC=5,AQ=6及(1),知QC=9.由∠QAB=∠ACQ,知△QAB∽△QCA,∴,∴AB=.■(2015银川一中高三二模,圆的切线
8、的性质与判定,解答题,理22)选修4-1:几何证明选讲已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点
