信息技术应用图形技术与函数性质.doc

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1、热点探究课(一)　导数应用中的高考热点问题[命题解读]　函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．热点1　利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主

2、要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．　(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．[思路点拨]　(1)求出导数后对a分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a的范围．[规范解答]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.

3、2分若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.3分若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.5分所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.6分(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；7分13当a>0时，f(x)在x＝取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.9分因此f>2a－2等价于lna＋a－1<0.10分令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当01时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(

4、0,1).12分[答题模板]　讨论含参函数f(x)的单调性的一般步骤第一步：求函数f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)．第二步：求函数f(x)的导数f′(x)．第三步：根据f′(x)＝0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论．第四步：求解(令f′(x)>0或令f′(x)<0)．第五步：下结论．第六步：反思回顾，查看关键点、易错点、注意解题规范．温馨提示：1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题．2．若已知f

5、(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．[对点训练1]　已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．[解]　(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.1分13当x＝时，得a＝f′＝3×2＋2a×－1，解得a＝－1.3分(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c，则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(

6、x－1)，列表如下：x－1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间是.8分(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立，只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞).12分热点2　利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究

7、函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．　(2016·北京高考节选)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；13(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围．[解]　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.2分因为f(0)＝c，f′(0)＝b，

8、所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx＋c.4分(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，所以f′(x)＝3x2