信息技术应用图形技术与函数性质

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1、3.3导数在研究函数中的应用———利用导数解决函数的零点及方程根的问题高二（）班姓名_______________一学习目标：1、熟练运用基本初等函数求导，理解导数与函数的单调性、极值、最值问题的关系；2、掌握函数的零点、方程的根、函数图象三者之间的关系；3、会利用导数解决函数的零点及方程根及参数范围问题。解题一般策略：数形结合，参变分离；核心思想是函数零点等价转化为函数值域问题。二学习过程：复习引入：1回顾导数与函数的单调性，极值，最值的关系2回顾基本初等函数的零点及零点存在区间的方法典例剖析：例1、方程的实根的个数为

2、．变式探究1：函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是什么？【教学建议】本题实际上就是要画出的简图，观察函数图象与轴交点的个数。如何画出简图?抓单调性。借助于导数，得到的增减区间和极值。在坐标系中标出极值点。画出简图得出结论：实根个数为2，函数有极值点该题继续考查了函数零点的判断方法及导数的相关知识．参照上一题的思路，由于函数是连续的，故只需两个极值异号即可．当然，令，转化为有两个交点也是常用的转化策略．思路1.把方程的根（函数的零点）问题转化成函数图像与X轴交点问题。2.函数图像则根据函数单调性、极最值作出”轮廓”.方

3、法小结：变式探究2、[2014·北京卷]已知函数f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；【变式探究2】(1))在区间[－2，1]上的最大值为f＝.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)，整理得4x－6x＋t＋3＝0，设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3

4、，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)t＋3t＋1所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．结合图像知，当g(x)有3个不同零点时，有解得－3

5、自然对数的底数)时，求的极小值；(2)讨论函数零点的个数。[解]　(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋，则f′(x)＝，2分∴当x∈(0，e)，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，3分∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋＝2，∴f(x)的极小值为2.5分(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0).设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)

6、(x＋1)，当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知①当m>时，函数g(x)无零点；②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤

7、0时，函数g(x)有且只有一个零点；当00时，

8、即a<－1或a>3时，有两个公共点；当Δ＝0时，即a＝－1或a＝3时，有一个公共点；当Δ<0时，即－1