2019_2020学年高中数学第二章空间向量与立体几何2空间向量的运算课时跟踪训练北师大版.docx

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1、2空间向量的运算[A组　基础巩固]1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的有(　　)①＋＋；②＋＋；③－＋；④＋＋.A．1个　　　　　　　　　B．2个C．3个D．4个解析：根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：①＋＋＝＋＝；②＋＋＝＋＝；③－＋＝＋＝；④＋＋＝＋＝.所以，所给四个式子的运算结果都是.答案：D2．如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，N分别是BC，CD的中点，则＋(＋)＝(　　)A.B.C.D.解析：＋(＋)＝＋＝.答案：A3．设A，B，C，

2、D是空间不共面的四点，且满足·＝·＝·＝0，则△BCD为(　　)A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：＝＋，＝＋，＝＋，∴cos〈，〉＝＝>0，∴〈，〉为锐角，同理cos〈，〉>0，∴∠BCD为锐角，cos〈，〉>0，∴∠BDC为锐角，即△BCD为锐角三角形．答案：B4．已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则＝(　　)A.＋＋B.＋＋C.＋＋D.＋＋解析：如图所示，＝，＝＋，＝，＝＋，＝，＝，所以＝＝＋＋，故选D.答案：D5.如图

3、，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是(　　)①(－)－；②(＋)－；③(－)－；④(－)＋.A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①(－)－＝＋＋＝；②(＋)－＝＋＋＝＋＝；③(－)－＝－＝－2≠；④(－)＋＝＋＋＝＋＋＝＋≠.答案：A6．已知非零向量a，b不平行，且

4、a

5、＝

6、b

7、，则a＋b与a－b的位置关系是________．解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.∴(a＋b)⊥(a－b)．答案：垂直7．已知向量a与b的夹角为120°，且

8、a

9、＝

10、b

11、＝4，那么b·(2a＋

12、b)的值为________．答案：08．已知空间向量a，b，

13、a

14、＝3，

15、b

16、＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为__________．解析：∵

17、a

18、＝3，

19、b

20、＝5，〈a，b〉＝135°，∴a·b＝

21、a

22、·

23、b

24、cos〈a，b〉＝3×5×＝－15.∵m⊥n，∴m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝18－15(1＋λ)＋25λ＝3＋10λ＝0，∴λ＝－.答案：－9.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分

25、别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下向量：(1)；(2)；(3)＋.解析：(1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c.(2)因为N是BC的中点，所以＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.(3)因为M是AA1的中点，所以＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c.又＝＋＝＋＝＋＝a＋c，所以＋＝＋＝a＋b＋c.10.如图，在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与

26、AC′所成角的余弦值．解析：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，根据题意得

27、a

28、＝

29、b

30、＝

31、c

32、，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a，∴·＝－c2＋b2＝0，∴⊥，即CE⊥A′D.(2)∵＝－a＋c，

33、

34、＝

35、a

36、，

37、

38、＝

39、a

40、，·＝(－a＋c)·＝c2＝

41、a

42、2，∴cos〈，〉＝＝，即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.[B组　能力提升]1．已知空间向量a、b满足条件a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝(　　)A．30°B．45°C．60°D．不确定解析：∵a＋3

43、b与7a－5b垂直，∴(a＋3b)·(7a－5b)＝7

44、a

45、2＋16a·b－15

46、b

47、2＝0.①∵a－4b与7a－2b垂直，∴(a－4b)·(7a－2b)＝7

48、a

49、2－30a·b＋8

50、b

51、2＝0.②由①②得a·b＝

52、b

53、2，

54、a

55、＝

56、b

57、.∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝60°.答案：C2．已知在正四面体DABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为(　　)A.B.C.D.解析：如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM，∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(

58、＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2·＋＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴

59、

60、＝.答案：D3．如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为__________．解析：＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(1－λ)＋＋，所以1－λ＝，＝，解得λ＝.答案：4．设a，b，c满足a＋b＋c＝0，