2019_2020学年高中数学第2章空间向量与立体几何33.3空间向量运算的坐标表示学案北师大版

《2019_2020学年高中数学第2章空间向量与立体几何33.3空间向量运算的坐标表示学案北师大版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.3　空间向量运算的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重点)　能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角．(难点)1．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，②a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，③λa＝(λa1，λa2，λa3)，④a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.2．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a∥b⇔a＝

2、λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；②a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；③

3、a

4、＝＝；④cos〈a，b〉＝＝.思考：已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，能否用＝＝表示a∥b的条件？为什么？[提示]　不能．无法保证b1b2b3≠0，故不能用＝＝表示a∥b的条件．1.判断正误(1)对空间任意的两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a·b>0，则〈a，b〉为锐角．(　　)(2)若a＝(x，y，z)，则

5、a

6、＝x2＋y2＋z2

7、.(　　)(3)若向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　)A．a＋b＝(10，－5，－6)B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10D．

8、a

9、＝6D　[a＋b＝(10，－5，－2)，A错误；a－b＝(－2，1，－6)，B错误；a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，C错误；

10、a

11、＝＝6，故选D.]3．已知向量a＝(0，2，1)，b＝

12、(－1，1，－2)，则a与b的夹角为(　　)A．0°B．45°C．90°D．180°C　[∵cos〈a，b〉＝＝＝0，〈a，b〉∈[0°，180°]．∴〈a，b〉＝90°.]4．已知a＝(1，－2，4)，b＝(－2，4，x)．(1)当a⊥b时，x＝________．(2)当a∥b时，x＝________．(1)　(2)－8　[(1)由a·b＝－2－8＋4x＝0，得x＝.(2)由a∥b得＝＝解得x＝－8.]空间向量的坐标运算【例1】　已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，

13、(0，－1，4)，(2，－1，－2)，设p＝，q＝.求：(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－2q)·(p＋2q)．[解]　因为A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6)．(1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9)．(2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)．(3)(p－2q)·(p＋2q)＝

14、p2－4q2＝

15、p

16、2－4

17、q

18、2＝(22＋12＋32)－4(22＋02＋62)＝－146.1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.1．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为(　　)A．2　　　　　　　B

19、．－2C．0D．1A　[∵c－a＝(1，1，1)－(1，1，x)＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)．∴2×(1－x)＝－2，∴x＝2.]空间向量平行、垂直的坐标表示【例2】　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.(1)若

20、c

21、＝3，c∥.求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.[思路探究]　解答本题可先求出a，b，再根据向量平行与垂直的条件列方程求解．[解]　(1)因为＝(－2，－1，2)，且c∥，所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，得

22、

23、c

24、＝＝3

25、λ

26、＝3，解得λ＝±1.即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．(2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，所以ka＋b＝(k－1，k，2)ka－2b＝(k＋2，k，－4)．又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－.1.(变条件)若将本例(2)条件“若ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若k