Runge-Kutta算法.ppt

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1、Runge-Kutta积分方法由此得到高阶的单步法。但是，往往右函数的高阶导数或者无法直接得到、或者计算太过复杂。所以实际的做法是：用[tn,tn+1]区间中解曲线邻域的一些已知点函数值的线性组合来代替F(t,Y)的导数，从而得到高阶的单步法公式。例此处即通过计算已知点的函数值(K1,K2)的线性组合代替高阶导数，得到了较高的精度。Runge-Kutta方法的推导Runge-Kutta方法的一般形式：确定了阶数之后，再通过Taylor展开、比较两边系数的方法，确定各待定系数：二阶显式Runge-Kutta方法展开各项如下：其中二阶显式Runge-Kutta方法要

2、使得方法是二阶的，则局部截断误差应该为三阶小量，即：例结果及比较三阶显式Runge-Kutta方法在推导二阶显式方法的过程中，注意到局部截断误差表达式中h3项包含了以下表达式：因此若要在局部截断误差中消去h3项，必须增加包含了以上各项的多个方程，同时我们注意到r=2时，只有等四个待定系数，少于方程的数目，所以这样的系数不存在。故：r=2时Runge-Kutta方法只能是二阶的。要得到三阶的方法，则必须有r=3。三阶显式Runge-Kutta方法四阶显式Runge-Kutta方法四阶显式Runge-Kutta方法xnxn+h/2xn+hf1f2f3f4x四阶二阶真

3、解四阶误差二阶误差0.01.0000001.0000001.0000000.00000.0000000.11.1048291.1024501.1048291.60E-72.38E-30.21.2185971.2115071.2185973.40E-77.09E-30.31.3401411.3257661.3401415.48E-71.44E-20.41.4681751.4436711.4681757.69E-72.45E-20.51.6012781.5635061.6012799.95E-73.78E-20.61.7378801.6833741.7378811.

4、20E-65.45E-20.71.8762461.8011791.8762471.42E-67.51E-20.82.0144571.9146032.0144591.68E-69.99E-20.92.1503952.0210862.1503971.96E-61.29E-11.02.2817162.1178002.2817182.32E-61.64E-1例结果及比较结果及比较关于Runge-Kutta方法提高Runge-Kutta方法的精度的方法提高精度最简单的方法是缩短步长，但要以牺牲计算速度和积累舍入误差为代价。变步长的Runge-Kutta方法作为妥协，如果能

5、在计算过程中实时控制步长的大小，就可以在获得较高的计算速度的同时，保证较高的精度。Runge-Kutta-Fehlberg方法Fehlberg设计了一个更加精巧的嵌套方法如下：Runge-Kutta-Fehlberg方法Fehlberg给出的四阶、五阶公式RKF4(5)如下：Runge-Kutta-Fehlberg方法七阶、八阶RKF7(8)Runge-Kutta-Fehlberg方法七阶、八阶RKF7(8)单步法作业