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时间:2020-02-26
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1、迎初赛苦练本领系列训练天天练007答案(2013年元月7日)姓名得分一、填空题()037.若,则函数的最小正周期是解:因为的周期为,的周期为,最小公倍数为,故的周期为.038.数列满足:,,且,记的前项和为,则解:验算可知:,,,,,,,,,,,┅;该数列是周期数列,周期为9,即有;则.039.在小于20的正整数中,每次不重复地取出三个数,使它们的和能被3整除,则不同的取法种数为解:把这19个数按被3除所得的余数分为三类:类:3,6,9,12,15,18;类:2,5,8,11,14,17;类:1,4,7,10,13,16,1
2、9.这样满足题设条件的取法有且只有四种情形:第一种情形,在类中任取三个数,有种取法;第二种情形,在类中任取三个数,有种取法;第三种情形,在类中任取三个数,有种取法;4第四种情形,在、、类中各任取一个数,有种取法;(妙点之处)因此一共有:种不同的取法.(一道高考压轴题的一部分,当年坑了多少有志而不爱竞赛数学的青年啊!!!)040.对于一切,不等式恒成立,则实数的取值范围是解:记,变式为:对一切恒成立.分三类讨论,找三类同时满足的的取值范围,即为所求范围;(1)当时,对一切实数,,满足题意;(2)当时,;设,下求在时的最大值;因
3、为,所以在时,,函数是增函数;所以,故;(3)当时,;设,下求在时的最小值;因为,所以在时,,函数是减函数;在时,,函数是增函数;所以,故;综上所述:的取值范围是.(本题是经典常规题型,必须谙熟之)4二、解答题()041.设,求使为完全平方数的整数的值.解:因为;(从极端考虑:配方法)所以,当时,是完全平方数;下证没有其它的整数满足要求:(此乃“正难则反”之思想)(1)当时,有;又有;则,因此有,故不是完全平方数;(2)当时,有;令;(此处若再用(1)法可以解出来,则不是竞赛题,“蹊跷”诶)则有:即;(整数的离散性质,此法亦
4、是常用技巧)再平方:,即;按和,脱绝对值号分类解此不等式得:此不等式的解集为:{,,0,,,,};验证可得:上述的取值均不能使为完全平方数;综合上述:只有当时是完全平方数.042.已知函数,试求在区间上的最大值.解:当时,;设:;(下面讨论对称轴与已知区间的关系)(1)当时,则在区间上为增函数,且,(绝对值!)此时,;(2)当时,则在区间上为减函数,且,(绝对值!)此时,;4(3)当时,则在区间上为减函数,在区间上为增函数,由,,;可知;作平方差比较大小:;又因为,(为了避免这里有相等的情形,故前面的(1)(2)讨论时取等于
5、)当时,,即,所以;当时,,即,所以;综合上述:.4
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