[论文]迎初赛苦练本领系列训练天天练032答案

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1、迎初赛苦练本领系列训练天天练032答案(2013年3月11日)姓名得分—、填空题(4xl0,=40,)2013187.设你勺，…，。2(”3都是止实数，S=H满足下列条件：r=l(5+2013)(5+a}a2+a2a3+…+Eon。J=4(Jag++…+妞加亍则―解：由柯西不等式可知：(S+20⑶(S+4。2+a2ai+---4-^2013«1)=(q++ciy+•••+。力门+!+1土：••+1)(0++•••+。2()13+a】+qa*,+ci^ci^+•••+。九)]*“)2013—[2(J+•♦・+丁°2013°1)1~由题意可知：是等号成立的情形；所以有：去二色=...=

2、如1=丄=...=^^；a2a3asa2。20】也从而有：q=。2=。3=•••=°2013=1；故S=2013・188.已知兀wR,且

3、1_

4、2_

5、3_・・・

6、2013胡…

7、卜兀,则仏=解：S/(x)=

8、i-

9、2-

10、3-••

11、2013-4*j

12、

13、；贝!l/(x)=

14、

15、

16、---

17、x-2013

18、3

19、-2

20、-1

21、；令fk(x)=x-k伙=1,2,3,…，2013)；则/W=/I(/2(-(./'2013(x)-))由y=fk(x)伙=1,2,3,…，2013)的图像，可知y=/(x)为若干条线段及两条射线(斜率为±1)连成的折线，其折角顶点为整点且/(xo)=O,则(x0,/(x0

22、))为y=/(x)的一个折角顶点；由

23、

24、

25、0-伙+3)

26、-伙+2)

27、-伙+1)卜£=0,可知：/(0)=0,/(1)=1,/⑵=0；根据y=x及y=/(x)的图像可知：/(X)=X<=>XG[0,1],（本题可以将2013换成1、2、3、4等等，寻找规律，是作为解填空题的最佳做法）187.从｛1,2,3,…，2011｝中随意取1005个不同数,使得其和为1021035,则其中至少有个奇数.解：从12()11中取1005个偶数，其和为：1005(1+2°10)=1011030；2换下2、4、6、8、10,换上2003、2005>2007、2009、2011,增加了2001x5=100

28、05,此时，总和变为1021035,故至少有5个奇数.188.将116这16个正整数随机地填入4x4棋盘的16个格子屮(每格填写一数)，则使每行、每列填数之和皆为偶数的概率是解：首先，将4x4棋盘染成黑白两色，使黑、白两种格子各有8个，且每行(或列)中同色的格子有偶数个；下面分三种情形进行讨论；(1)若第一列为两黑两白，则该列有U=6种染法；考虑后三列每行黑格的个数，则有：①6个黑格分成：“3+3”型：只能填在有黑格一行里，只有1种填法；②6个黑格分成：“1+1+2+2”型：“1”填在有黑格的行里，“2”填在无黑格的行里,注意列里的黑格数也是偶数，“1”确定了，“2”就有两种情况，

29、而两个“1”都是独立的，又当两个黑格对齐时，还有3种情况；共有3x3x2+3=21种填法；③6个黑格分成：“1+2+3”型：“1、3”填在有黑格的行里，“2”填在无黑格的行里,且“1”是独立的，“3”是固定的，注意列里偶数黑格，以及行交换“1”与“3”，共有2x3x2=12种填法；所以此类情形共有：6x(1+21+12)=204种填法.(2)若第一列为全黑或全白这两种情形，按对称思想，各有相同填法种数；当第一列全黑格时，另四个黑格在右三列里，只能一行一个黑格；排列时，只能四个黑格一列或分两列里每列两个黑格；共有3+CfCj=21种填法；所以此类情形共有：2x21=42种填法.所以一

30、共有：34+42=76种填法；考虑顺序，则所求概率为：2()4X(S!)~=16!2145二、解答题(2x30r=601)191.已知圆O：/+尸=宀椭圆c：其中0〈bead从圆O上任一点引椭圜C的两条切线，两个切点所连线段称为其对应的切点眩，试求椭I员IC内部与上述切点弦永远不相交的区域.解：设圆O上任意一点为：P(rcosa,rsina)(ae[0,2龙))；(这个方程是公式,要熟记之，竞赛中常用)则P所对应的椭圆的切点弦方程为：转动点P的位置，估计一下，与切点弦永远不相交的区域也是一个椭圆，(事实上，是一个切线“包络”)于是设该椭圆为：二+〈=1，其中c、d待定；Ld_过这个

31、椭圆上相应的一点Q(CCOSG,dsino)的切线方程为：x-ccosay・dsina(介(事实上，随Q的变化，构成一个切线“包络”，而这个切线系就是切点弦AB线系)2=将式②与式①对照，取C=—,J,rr则上述所有椭圆的切点弦都是：耳+甘=1③的切线；ab故式③即为所求区域的边界，所求的区域就是椭圆③的内部.192.已知可以用一系列半径为R且彼此不巫叠的圆盘覆盖平面上的所右格点(在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点)，试求出尺唤(R的最大值)与4的大小关