[方案]迎初赛苦练本领系列训练天天练043答案

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1、迎初赛苦练本领系列训练天天练043答案（2013年3月26日）姓名得分—、填空题（4xl0,=40,）253.已知实数数列｛%｝定义为：绳=1，昭严ga+二一）5wN）,设An=—^—225a„5a；-1则｛An｝中冇个完全平方数.解：设色=么，几、绻wN*,（几，q”）=l；则劣+]=如=舟（厶+吕-）=肆：；*%,①;Qnq,z2qn5pni0pnqn得"W若5qnf则由如=—,可知：5

2、也;所以当沦1时，5qn;q”2p”q”又由①式可知：当nni时，"”为奇数，乞为偶数；因此，几+i=龙+%，%+】=2叭,则人=-4~7=§'：J=q，!r5H-15p„-qn2q„r而由归纳

3、法可知：加-牛=i,所以A,=crngi)为完全平方数；5故有无数个完全平方数.2013254.対于止整数八，定义a“为汕耐的个位数字，则£«„=J-1解：当n三0,1,5,6(mod10)时,an=n(n+,)"=n(mod10)；当n=2,4,8(mod10)时，(n+l)n+2=1(mod4)=>an=卅“严=严=n(mod10)；当n三3,7,9(mod10)时，(n+l),H2=0(mod4)=>an=n'n'[r'=n4k=1(mod10)；所以，匕依次为1,2,1,4,5,6,1,8,1,0,1,2,…；是周期为10的数列；2013所以，XX=201x29+1+2+1=58

4、33•：=1数f的个数是解：设ZAOB=2a,0C丄AB,垂足为C；253.直线Z:x+y=t与圆(9:x2+/=20交于点A、B,且比如为整数，则所有满足条件的正整则0C=^20cosa=/~—=>cosa——7=r,①;71+1V22<10又S心b=10sin<10；再由于是整数，所以有：sin2(2=4;伙丘｛1,2,3,…，10｝)；于是，2coscrVl-cos2a=—；10将①式代入上式并整理可得：厂(40-尸)=4疋，②；对②式两边的奇偶性分析，易知：『为偶数，设r=2r0,贝

5、J有：4r02(10-r02)=Z：2=>r0

6、2,6,故有2个.254.已知函数/:｛(),1,…，2010)->N；若对于所有可能的整数x,有:/(4x+2)=/(4x+l),/(5x+3)=/(5x+2),/(7尢+5)=/(7兀+4)；则f(x)至多可以取个不同的值.解：对函数/,构造函数g,定义为：g(0)=l,g(i+l)=[mm其中，心0,1,2,…，2009；[0,/(z+l)=/(z)则g是从｛0,1,2,…，2009｝到｛0,1｝的映射，且对所有可能的x,有：g(4x+2)=g(5x+3)=g(7x+5)=0；2010所以/w至多可取个不同的值;r=0设巩切=/心+2),则力是从｛2,3,…，2012｝到｛0,1｝

7、的映射，且对所有可能的X,有:h(4x)=h(5x)=h(7x)=0；所以，由容斥原理可得:/2012、Zh(i)f=2)=2011-201220122012+2012+2012+201220124574x54x75x74x5x7故有1033个不同的值.二、解答题（2x30,=60,）92253.设椭圆（：：口匚+匕土=1,W/：y=ax+b,若分别从直线/上任两点M、N引椭恻169C的两条切线，切点连线分别为m.n，则mIIn，试求点（a,b）的轨迹.解：设M（x0,y0）为直线/:上任一点；由椭圆C:*+16〉，2_1张_32），-119=（）知：M所对的切点弦为：（与圆一样的形式

8、）93+16儿)，一9(灭+看))一16(『+『0)-119=0；将儿=ax()+b代入上式并整理可得：x0(9x+16ay-9-16«)-[9x+16y(l-^)+16Z>+119]=0,①;解方程组:9x+16^/y-9-16«=09x+16y(l-b)+16b+119=0若方程组②有解G3」），则对直线/上任意一点M,其所对应的切点弦都经过点G；这与题设是矛盾的，因为M、N两点对应的切点弦是平行的;所以方程组②是无解的，即2=』^一9T6"»+归；916（1—/?）16^+119代入①式得：（心-1）（9/+16与-9一16。）一144=0,即为点M（兀°,旳）所对应的切点弦（心H

9、1）；又点（1,1）在直线/上，且在椭圆内部，其没有对应的切点弦；故所求点的轨迹为直线a+b=l・254.给定止实数k,圆心为（a,方）的圆至少与抛物线y=kx2有三个公共点，一个是原点（0,0）,另两个点在直线y二匕+b上，求a,b的值（用斤表示）・（原题有误，换此）解：设QO:(x-a)2+(y-b)2=a2+b~,即x2-lax+y2-2by=0:抛物线与直线y=kx+b的两个交点坐标为（召」,）,（.12，丿2），kx^=k