常微分方程第二章.doc

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1、第二章基本定理我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville）证明了里卡蒂（Riccati）方程除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研

2、究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题.本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础.2.1解的存在唯一性定理对于一般的常微分方程（2.1）如果给出了初始条件，我们就得到了柯西初值问题（2.2）这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的

3、存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理.2.1.1存在唯一性定理的叙述81定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数在闭矩形区域上满足如下条件：（1）在上连续；（2）在上关于变量满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数，使对于上的任何一对点和有不等式：则初值问题（2.2）在区间上存在唯一解其中.在给出定理2.1的证明之前，我们先对定理2.1的条件和结论做些说明：1、在两个条件中，条件（2）,即李普希兹条件比较难于验证，因为李普希兹常数难以确定.但是，我们可以将该条件加强，替换为：如

4、果函数在闭矩形区域关于的偏导数存在且有界.这样，可以推出李普希兹条件成立.事实上，因为有界，故设，对，由拉格朗日中值定理得：我们验证在闭矩形区域上有界也不容易，可以进一步将条件加强为：在闭矩形区域上连续.由闭区域上连续函数的性质知：在闭矩形区域上有界，所以李普希兹条件成立.因此，有如下的关系式：在上连续在上存在且有界李普希兹条件2、在定理2.1的结论中，解的存在区间为，其中.为什么解的存在区间不是呢？这是因为我们研究问题的范围为闭矩形区域，方程的解不能超出81的范围，又因为，所以即由和得：，因此，即夹在与之间.又，

5、与在上的存在区间为，故的存在区间也是.2.1.2存在性的证明首先，我们给出柯西初值问题（2.2）的等价转化，即求（2.2）的解，等价于求解积分方程（2.3）事实上，如果是初值问题（2.2）的解，即有且从到积分得：即是积分问题（2.3）的解.反过来，如果是积分问题（2.3）的解，即有则且即是初值问题（2.2）的解.经过等价转化，我们将初值问题（2.2）的求解，转化为积分问题（2.3）的求解.下面用皮卡（Picard）逐次逼近来证明积分问题（2.3）的解的存在性，分为三个步骤：1、构造近似函数列任取一个满足初值条件的函

6、数81作为首项（初始项），并要求在上的存在区间为：，简单起见，取，将它代入方程（2.3）的右端，所得到的函数用表示，并称为一次近似，即再将代入方程（2.3）的右端就得到二次近似序行此法，可以得到次近似为了保证上述的逐次逼近过程可以一直进行下去，必须有，即当时，有下面用数学归纳法证明.显然，当时，有假设，当时，有，那么，对于有从而有由数学归纳法知，当时，有这样，我们就可以得到一个近似函数列.2、证明近似函数列在区间上一致收敛.由于无法得到的通项公式，只知道首项和递推关系式，直接证明函数列的收敛性比较困难，为此我们构造

7、函数项级数（2.4）它的部分和是81因此，证明的收敛性转化为证明级数（2.4）的收敛性，下面我们证明级数（2.4）在区间上一致收敛.首先研究级数（2.4）的通项即所以因为，，所以由李普希兹条件，得下面用数学归纳法证明显然，的时候，不等式成立（上面已经给出），假设成立，那么对于的情形有由数学归纳法知，对一切自然数，均有又，所以级数（2.4）的通项满足：（）81利用比式判别法，可知以为通项的级数收敛，从而以为通项的级数(2.4)绝对收敛且一致收敛.又，每一个是连续的，所以级数（2.4）的和函数也是连续的，记为，其存在区

8、间也是.因此函数列就收敛于.3、证明是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.在两端取极限，得到即所以是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.2.1.3唯一性的证明下面我们证明解的唯一性.在证明唯一性之前，先介绍一个重要的不等式，即贝尔曼（Bellman）不等式.贝尔曼引理设为区间上的非负连续函数，.若存在，使得满足不等式（