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1、奇点-常微分方程————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：§6.3奇点本节考虑平面自治系统(6.18)以下总假定函数在区域,上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件.6.3.1相平面、相轨线与相图我们把平面称为(6.18)的相平面,而把(6.18)的解在平面上的轨迹称为(6.18)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上的图像称为(6.18)的相图.易于看出,解在相平面上的轨线,正是这个解在三维空间中的积分曲线在相平面上的投影.我们以后会看
2、到,用轨线来研究(6.18)的通解常要比用积分曲线方便得多.下面通过一个例子来说明方程组的积分曲线和轨线的关系.例1很明显,方程组有特解它在三维空间中的积分曲线是一条螺旋线(如图5-3(a)),它经过点.当增加时,螺旋线向上方盘旋.上述解在平面上的轨线是圆它恰为上述积分曲线在平面上的投影.当增加时,轨线的方向如图5-3(b)所示.另外,易知对于任意常数,函数也是方程组的解.他的积分曲线是经过点()的螺旋线.但是,它们与解有同一条轨线(a)(b)图5-3同时,我们可以看出,的积分曲线可以由的积分曲线沿轴向下平移距离而得到.由于的任意
3、性,可知轨线对应着无穷多条积分曲线.为了画出方程组在相平面上的相图,我们求出方程组通解其中,为任意常数.于是,方程组的轨线就是圆族(图5-3(b)).特别,是方程的解,它的轨线是原点.6.3.2平面自治系统的三个基本性质性质1积分曲线的平移不变性设是自治系统(6.18)的一个解,则对于任意常数,函数也是(6.18)的解.事实上,我们有恒等式由这个事实可以推出:将(6.18)的积分曲线沿轴作任意平移后,仍然是(6.18)的积分曲线.从而它们所对应的轨线也相同.于是,自治系统(6.18)的一条轨线对应着无穷多个解.性质2轨线的唯一性如
4、果满足初值解的存在与唯一性定理条件,则过相平面上的区域的任一点,(6.18)存在一条且唯一一条轨线.事实上,假设在相平面的点附近有两条不同的轨线段和都通过点.则在空间中至少存在两条不同的积分曲线段和(它们有可能属于同一条积分曲线),使得它们在相空间中的投影分别是和(见图5-4,这是不妨设).现在把所在的积分曲线沿轴向右平移,则由性质1知道,平移后得到的仍是系统(6.18)的积分曲线,并且它与至少有一个公共点.因此,利用解的唯一性,与应完全重合,从而它们在相空间中有相同的投影.另一方面,与在相空间显然也有相同的投影,这蕴含和在相平面
5、中的点附近有相同的投影,而这与上面的假设矛盾.图5-4性质1和性质2说明,相平面上每条轨线都是沿轴可平移重合的一族积分曲线的投影,而且只是这族积分曲线的投影.此外,由性质1同样还可知道,系统(6.18)的解的一个平移仍是(6.18)的解,并且它们满足同样的初值条件,从而由解的唯一性知因此,在(6.18)的解族中我们只须考虑相应于初始时刻的解,并简记为,性质3群的性质系统(6.18)的解满足关系式(6.19)其几何意义是:在相平面上,如果从点出发的轨线经过时间到达点,再经过时间到达点,那么从点出发的轨线经过时间也到达点.事实上,由平
6、移不变性(性质1),是系统(6.18)的解,而且易知它与解在时的初值都等于.由解的唯一性,这两个解应该相等.取就得到(6.19).对于固定的,定义平面到自身的变换如下:.也就是把点映到由该点出发的轨线经过时间到达的点.在集合中引入乘法运算:令.由(6.19)知.所以乘法运算在集合中是封闭的,而且满足结合律,故二元组构成一个群.容易验证,其单位元为,而的逆元为.这就是群性质名称的由来.这个平面到自身的变换群也称作由方程(6.18)所生成的动力系统.有时也把方程(6.18)就叫做一个动力系统.由此所开展的研究工作导致动力系统这个重要的
7、研究方向.6.3.3常点、奇点与闭轨现在考虑自治系统(6.18)的轨线类型.显然,(6.18)的一个解所对应的轨线可分为自身不相交和自身相交的两种情形.其中轨线自身相交是指,存在不同时刻使得.这样的轨线又有以下两种可能形状:(1)若对一切有,,则称为(6.18)的一个定常解.它所对应的积分曲线是空间中平行于轴的直线.对应此解的轨线是相平面中的一个点.我们称为奇点(或平衡点).显然是(6.18)的一个奇点的充分必要条件是(2)若存在,使得对一切有则称为(6.18)的一个周期解,T为周期.它所对应的轨线显然是相平面中的一条闭曲线,称为
8、闭轨.由以上讨论和(6.18)轨线的唯一性,我们有如下结论:自治系统(6.18)的一条轨线只可能是下列三种类型之一:(1)奇点,(2)闭轨,(3)自不相交的非闭轨线.平面定性理论的研究目标就是:在不求解的情况下,仅从(6.18)右端函数的性质出发,
