常微分方程第二章练习与答案

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1、习题２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．　解：，　　，则，，　所以　即原方程不是恰当方程．２．解：则　所以，即　原方程为恰当方程则两边积分得：3．　（a,b和c为常数）．解：则　所以，即　原方程为恰当方程则两边积分得：4．解：则　因为　,所以，即　原方程不为恰当方程５．解：则　所以，即　原方程为恰当方程则两边积分得：６．解：，则　所以，即　原方程为恰当方程则两边积分得：７．解：则　所以，即　原方程为恰当方程则两边积分得：８．　解：则　所以　当，即　时，　原方程为恰当方程则两边积分得：

2、而当时原方程不是恰当方程．９．　解：则　所以，　即原方程为恰当方程,两边积分得：．10．　　其中是连续的可微函数．　　解：则　所以，　即原方程为恰当方程,两边积分得：,即原方程的解为(其中F为f的原积分)．习题２-2.1.求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：（１）解：原方程即为：两边积分得：．（２）解：原方程即为：两边积分得：．（３）　　解：当时　　　　　原方程为：两边积分得：．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为．（４）；　　解：原方程即为：两边积分得：，　即　．（５

3、）　　　解：①当时　　　　　原方程即为：两边积分得：．②=0，即也是方程的解.　（）（６）　解：①当时　　　　　原方程即为：两边积分得：．②也是方程的解.（７）．　　解．原方程即为：两边积分得：，原方程的解为：.2.解下列微分方程的初值问题．（１）　　；解：两边积分得：，　即　　　因为　　,　所以　.　　所以原方程满足初值问题的解为：．（２）．，　；　解：原方程即为：，两边积分得：，因为，　所以，所以原方程满足初值问题的解为：．（３）．，　；　　解：原方程即为：，两边积分得：，　　　　因为，　所以，　　　

4、　所以原方程满足初值问题的解为：　即　．（４）．;解：原方程即为：,两边积分得：,因为，所以，所以原方程满足初值为：（５）．，　；　　解：原方程即为：，　　　　两边积分得：，　　　　因为，　所以，　　　　所以原方程满足初值问题的解为：．１．解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图．　（１）．解：两边积分得：．积分曲线的简图如下：（２）．，　（常数）；　　解：①当时，　　　　　原方程即为：　积分得：，　　　　　即　y②也是方程的解．积分曲线的简图如下：（３）．；　　解：①当时，　　　　　原方程即为：　积分得

5、：，　　　　　即　．②也是方程的解．　　积分曲线的简图如下：（４）．，　；　　　解：①当时，　　　　　　　ⅰ）时，原方程即为　，　　　　　　　　　积分得：．　　　　　　ⅱ）时，原方程即为　　　　　　　　　积分得：，即　．　　　　　②也是方程的解．　　　　积分曲线的简图如下：4.跟踪：设某A从xoy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；同时某B从点开始跟踪A，即B与A永远保持等距b．试求B的光滑运动轨迹．解：设B的运动轨迹为,由题意及导数的几何意义，则有，所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足的解．解之得：．

6、4.设微分方程（2.27），其中f(y)在的某邻域（例如，区间）　　内连续，而且，则在直线上的每一点，方程（2.27）的解局部唯一，当且仅当瑕积分（发散）．证明：（）首先经过域：和域：内任一点（）恰有方程（2.13）的一条积分曲线，它由下式确定.（*）这些积分曲线彼此不相交.其次，域（）内的所有积分曲线都可由其中一条，比如沿着x轴的方向平移而得到。因此只需详细考虑经过内某一点的积分曲线，　它由（*）式确定.　若收敛，即存在，使得,　即所讨论的积分曲线当时达到直线上点（）.由（*）式易看出，　所论积分曲线在

7、（）处与相切，在这种情形下，经过此直线上的　一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以发散.若积分发散，此时由（*）式易看出，所论的经过的积分曲线，不可能达到直线上，而以直线为渐近线，又注意到也是（２.13）的积分曲线，所以（2.13）过的解是唯一的.注：对于内某点（）完全可类似地证明.6.作出下列微分方程积分曲线族的大致图形．　（１）．；（２）．习题２-3１．求解微分方程：　（１）;解：　，　　由公式得：，　　原方程的解为：．　（２）；解：　，　　，　则有　　　　　　　原方程的解为：．（３）　；解：

8、原方程即为：，则，　　，　则有　　　　因为，　所以．　　原方程满足初值问题的解为：　．（４），；　　　解：,则要求满足初值问题的解只需求代入初值得所以满足初值问题的解为.2.将下列方程化为线性微分方程：　（１）；解：令，　则原方程化为：．　（２）；解：由原方程得：，,　即　　．（３）；解：令，　则原方程化为：．（４）；解：原方程即为：　　即.　　令，　则　．3.设满足微分不等式．求证：　证明：将两边同乘　则有　　　　　　即　从