常微分方程模拟试题与答案

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1、常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是　　　　维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是．3．方程的基本解组是．4．一个不可延展解的存在在区间一定是区间．5．方程的常数解是．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A）上半平面（B）xoy平面（C）下半平面（D）除y轴外的全平面7.方程（）奇解．　　（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个8．连续可微是保证方程解存在且唯一的（）条件．（A）必要（B）充分（C）充分必要

2、（D）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间10．方程过点(0,0)有（　）．　　(A)无数个解　　　　(B)只有一个解　(C)只有两个解　　　(D)只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：11.12.13.14．15．四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程的通解．17．求下列方程组的通解．8五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设在上连续，且，求证：方程的一切解，均有．19．在方程中，在上连续

3、，求证：若恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．4．开5．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D7．C8．B9．C10．A三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解当，时，分离变量取不定积分，得（3分）通积分为（6分）12．解令，则，代入原方程，得（3分）分离变量，取不定积分，得（）通积分为：（6分）13．解方程两端同乘以，得令，则，代入上式，得8（3分）通解为原方程通解为（6分）14．解因为，所以原方程是

4、全微分方程．（2分）取，原方程的通积分为（4分）即（6分）15．解原方程是克莱洛方程，通解为（6分）四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解对应齐次方程的特征方程为，特征根为，，齐次方程的通解为（4分）因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为（6分）代入原方程，比较系数确定出，，原方程的通解为（10分）17．解先解出齐次方程的通解（4分）令非齐次方程特解为满足（6分）解得积分，得，通解为8（10分）五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．证明设是方程任一解，满足，该解的表达式为（4分）取极限=（10分）19．证明设，是方程的基本解组，则对任意，它们朗斯

5、基行列式在上有定义，且．又由刘维尔公式，（5分）由于，，于是对一切，有或故是上的严格单调函数．（10分）中央广播电视大学2002-2003学年度第一学期期末考试数学与应用数学专业2002（春）级第三学期常微分方程试题2003年9月题号一二三四五总分得分得分评卷人一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．方程所有常数解是　　　　．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　　　．3．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．4．方程的任一非零解与轴相交．5．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个．8得分评卷人二、单项选择题（每小题3分，本题共

6、15分）6．方程（）奇解．（A）有无数个（B）无（C）有一个（D）有两个7.方程过点（）．　　（A）只有一个解（B）有无数个解（C）只有两个解（D）无解8．有界是方程初值解唯一的（）条件．（A）必要（B）必要非充分（C）充分（D）充分必要9．方程的任一非零解在平面上（）与轴相切．（A）不可以（B）只有在点处可以（C）只有在原点处可以（D）只有在点处可以10．阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A）构成一个线性空间（B）构成一个维线性空间（C）构成一个维线性空间（D）不能构成一个线性空间得分评卷人三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：11.1

7、2.13.14．15．得分评卷人四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程的通解．17．求下列方程组的通解．得分评卷人五、证明题（每小题10分，本题共20分）818．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．19．设和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点．试题答案及评分标准（供参考）2003年9月一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．；或2．平面3．充分必要4．不能5．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．B7．A8．C9．A10．D三、计算题（每小题６分，本题共30分）1