众家赏识的一道中考压轴题.doc

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1、众家赏识的一道中考压轴题——再读“2008年北京市中考压轴题”江苏省海安县海南中学　陈振华　(226600)《中小学数学》初中版2009年第7、8期刊登了曹劲松老师的《层层递进不断超越》（------北京市2008年中考压轴题赏析与拓展）一文，笔者读后，很有启发．在这之前，我也曾读了《数学教学》2009年第3期登载了唐耀高老师所写的《一道平面几何中考试题的拓展》的文章．在这篇文章中唐老师不但对该题做出了比较恰如其分的评析，而且也对该题做出了适当的拓展，同样也很有价值．当时受唐唐老师的这篇文章的影响，就准备动一下笔谈一些自己的看法，如今又看到曹老师的这篇文章，几番思索，最终决定还是试一下，于是就

2、写下了此稿投向贵刊．【北京市2008中考压轴题】请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连结，．若，探究与的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．DABEFCPG图1DCGPABEF图2请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其

3、他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．【答案】（1）线段与的位置关系是；．（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图３，延长交于点，连结，．是线段的中点，．由题意可知∥．．，．．四边形是菱形，第4页共4页．由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得．．四边形是菱形，．．．，．即．，，，．．（3）．曹老师在文中先对该题的第三问给出了解答．之后，他提出可将原题中的“小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．”改成：“小聪同学的思路是：延长交的延长线于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．”并且在其后给出相关的解法，很有新意．唐老师在文中

4、对该题的条件和结论做了如下的变式．1．将条件“菱形和菱形”改为正方形，其它条件不变，当然有，．２．若将条件“菱形和菱形”改为“长宽不相等的一般矩形≌矩形”，其它条件不变，试探求线段与的关系．如图4、图5．同时，唐老师也给出了较为详尽的解析．即：当点、、在同一直线时，有结论，且．需要补充的是：对于结论(3)，由于，仍成立．笔者追踪北京市的这道压轴题的出处发现该题原来就是根据大连2005年中考第26题的改编而成．【大连2005年中考第26题】如图6，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上（），取线段的中点．探究：线段、的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方

5、法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．①的延长线交于点，且；②将正方形绕点逆时针旋转（如图７），第4页共4页其他条件不变；③在②的条件下且．附加题：将正方形绕点旋转任意角度后（如图８），其他条件不变．探究：线段、的关系，并加以证明．可以看出：北京市的压轴题是由大连这道题经特殊到一般演变而成．即将其正方形改变成了菱形．与此同时也将思维层次的要求提高到了一个较高的要求即问题的第(3)问．但对于第(3)问的求解

6、过程的寻找，本题的第(2)问的设计可以说对第(3)问的解决还有一定程度的干扰．由于第(2)问的设计的特殊性即“使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上”，加上“”，致使在分析第(3)问时，就有了某种程度的心理倾向，即旋转角最好是．这样可以保证和问题(2)相照应．对于问题(3)究竟应该如何解决，标准答案并没有公布过程．这一点现已在曹老师的文中能找到它的全解，这里就不再给出了．不过为了排除问题(2)对问题(3)的干扰，本人认为在出现从第(2)问到第(3)问这个实质上的飞跃时，必须把梯度做适当的调整．不妨就在第(2)问与第(3)问之间增加一步，即：若图1中，将菱形绕点顺时针旋转角，原问题中的其他条

7、件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．这样由于与在同一条直线上，对于与全等的三角形的构造就显得要容易些．只需将延长交边，设交点为．则有≌．进一步可得≌．于是可得结论．对于大连的这道题相对于北京市的这道题我们仍有类似于上面北京市的这道题中的问题(3)，由于，仍有．由于正方形既是特殊的菱形又是特殊的矩形同时还是特殊的平行四边形．因而北京市的这道题着重是针对正方形是特殊的菱形而将大连的这道题进行变