空间向量与立体几何复习2.doc

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1、经典小初高讲义空间向量与立体几何(复习二)【学情分析】：学生能用向量计算空间角、空间距离。但有时建立的坐标系并非直角。由于法向量的方向有两个，导致计算的角的大小与实际情况不一致，不善于取舍、修正。【教学目标】：（1）知识目标：运用空间向量计算空间角及空间距离计算。适当运用传统方法。（2）过程与方法目标：总结归纳，讲练结合，以练为主。（3）情感与能力目标：提高学生的计算能力和空间想象能力。【教学重点】：。计算空间角。【教学难点】：计算空间角，角的取舍。【课前准备】：投影【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习1。两条异面直线所成

2、的角，转化为分别与这两条异面直线共线的两个向量的夹角（或补角）。（要特别关注两个向量的方向）2。直线与平面所成的角，先求直线与平面的法向量的夹角（取锐角）再求余角。3。二面角的求法：方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角α-l-β的大小为θ，A，B∈l，ACα，BDβ,AC⊥l，BD⊥l则θ=<,>=<,方法二：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角（或补角）。4。点P到平面的距离：先在内任选一点Q，求出PQ与平面的夹角θ则这里只用向量解题，没包括

3、传统的解法。例2．如图，三棱锥P—ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=小初高优秀教案经典小初高讲义二、实例，点E，点F分别是PC，AP的中点.（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；（2）求异面直线AE与BF所成的角；（3）求二面角A—BE—F的平面角.解：（1）∵PB⊥平面ABC，∴平面PBC⊥平面ABC，又∵AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC∴侧面PAC⊥侧面PBC.（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，建立空间直角坐标系，由条件可设（3）平面EFB的法向量=(0,1,1)，平面ABE的法向量为=（1

4、，1，1）例3．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.（I）用向量方法求直线EF与MN的夹角；（II）求直线MN与平面ENF所成角的余弦值；（III）求二面角N—EF—M的平面角的余弦值.解：建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则有E（，0，1，），F（1，，0），M（，1，1），N（1，此处可引导特色班的学生尝试传统的方法来解题。小初高优秀教案经典小初高讲义，1）.（1）∵EF=（，，-1），MN=（，-，0），∴EF·MN=（，，-1）·（，-，0）=-+

5、0=0.∴EF⊥MN，即直线EF与MN的夹角为90°.（2）由于FN=（0，0，1），MN=（，-，0），∴FN·MN=0，∴FN⊥MN.∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.所成角的余弦为零。（3）二面角M—EF—N的平面角的余弦值为.三、小结（见一）四、作业1．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG.（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.解：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立

6、空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），设G（0，2，h），则∴－1×0+1×（－2）+2h=0.∴h=1，即G是AA1的中点.（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）∵∴，即AC1与平面EFG所成角为小初高优秀教案经典小初高讲义2．在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°.（Ⅰ）求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求直线A1C与平面BCC1B1所

7、成角的余弦值；（Ⅲ）求点C1到平面A1CB的距离.答案：（Ⅰ）先证BC⊥平面A1ABB1，∴平面CA1B⊥平面AA1BB1，（Ⅱ）（Ⅲ）C1到平面A1BC的距离为.教学与测试（基础题）1．空间四边形中，，，则<>的值是（）A．B．C．－D．答：D。2．2．若向量，则这两个向量的位置关系是___________。答：垂直。3．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求点到平面的距离.小初高优秀教案经典小初高讲义解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，设.∵为平行四边形，（II）设为平面的法向量

8、，的夹角为，则∴到平面的距离为4．如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；（2）当为的中点时，求点到面的距离；（3）等于何值时，二面角的大小为.小初高优秀教案经典小初高讲义解：以为坐标原点，直线分