空间向量与立体几何章末复习

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1、年级：_________班级：_________组号：_________姓名：_____________空间向量与立体几何章末复习学案编号：主备课人：严强元审核人：高二数学备课组引进空间向量的意义：引入空间向量后，许多空间问题（如空间角、空间距离等）的求解，已经从传统的“作———证———算”转化为将所求问题表示为向量相关问题，然后利用数量积求解，即已从传统意义上的几何方法转向以空间向量为媒介的代数运算．特别是法向量的应用，更是大大拓展了求解空间问题的思路！一、空间向量的线性运算1．空间向量的概念：（类比平面向量）　　2．空间向量的加法

2、、减法和数乘运算（类比平面向量）三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律：①交换律：②结合律：③分配律：3．空间向量的基本定理　①共线向量定理：　②共面向量定理：　③空间向量基本定理：4．两个向量的数量积：　数量积的性质：①（e为单位向量）；②；　③；④．　数量积运算满足运算律：①交换律：②与数乘的结合律：③分配律：二、空间向量的直角坐标运算　　1．空间直角坐标系：建立坐标系的三条直线必须两两垂直！　　2．空间直角坐标系中的坐标运算给定空间直角坐标系O－xyz和向量a，存在惟

3、一的有序实数组使，则叫作向量a在空间的坐标，记作：3．空间向量的直角坐标运算律：细节决定成败！4三、直线、平面的法向量及向量在平面内的射影如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面（记作），向量a叫做平面的法向量．法向量的具体应用方法，可以归结为：1．空间的线线、线面、面面垂直关系　　2．空间图形的平行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行3．在立体几何中关于角的计算，均可归结为求两个向量的夹角4．立体几何中涉及的距离问题较多，如点与线的距离，点、线与面的距离，两异面直线的距离等，都是学习中的难

4、点，若用向量来处理这类问题，则思路简单，解法固定空间距离主要有：①点面距、点线距（②线线距，③线面距、面面距）考点一证明空间点共面例题1.已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？例题2.如图，在空间四边形OABC中，已知E是BC的中点，G在AE上，且AG=2GE，1、试用向量OA、OB、OC表示向量OG。2、若OA、OB、OC长度均为1，两两夹角为求向量OG的模长。。细节决定成败！4例题3.如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：平面．　　考点二证明空间线面平行与垂直例题4.

5、如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；.考点三求空间图形中的角与距离例题5.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=1，AD=DC=.1、求直线A1C与D1C1所成角的余弦值；2、在线段A1C上有一点Q，且C1Q=C1A1，求面QDC与面A1DC所成锐二面角的大小.3、点B到平面QDC的距离细节决定成败！4考点四探索性问题例题6.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点。（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ

6、）求二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由。考点五折叠、展开问题例题7.在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；图1图2（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的余弦值细节决定成败！4