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《空间向量与立体几何复习教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、www.zgjhjy.com授课教案学员姓名：__________授课教师：_所授科目： 学员年级：__________上课时间：___年__月___日___时___分至___时___分共___小时教学标题专题：空间向量法解决立体几何问题教学目标熟练掌握：三角函数复习教学重难点重点掌握：考点内容：上次作业检查正确数：正确率：问题描述：授课内容：一专题提纲(一)引入两个重要空间向量1、直线的方向向量；2、平面的法向量。(二)立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系(1)直线与
2、直线的位置关系；(2)直线与平面的位置关系；(3)平面与平面的位置关系；2、求解空间中的角度（1）线线角（2）线面角（3）二面角二梳理知识（新课内容）（一）引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是细节决定未来www.zgjhjy.com2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时
3、向量n叫做平面α的法向量.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图2,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.求平面的法向量的坐标的步骤：第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好
4、),便得到平面法向量n的坐标.例1：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.细节决定未来www.zgjhjy.com解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).（二）立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1
5、)直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为,①若∥,即=λ,则a∥b.②若⊥,即·=0,则a⊥b例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BD证明：设v依题意有v于是(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为,平面的法向量为,且细节决定未来www.zgjhjy.comv①若∥,即=λ,则v②若⊥,即·=0,则例3：棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:v(I
6、)A1E⊥平面DBC1;v(II)AB1∥平面DBC1解：以D为原点，DC为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则vA(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).v设平面DBC1的法向量为=(x,y,z),则v解之得，v取z=1得=(-2,0,1)v(I),从而A1E⊥平面DBC1v(II),而，从而AB1∥平面DBC1(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2①若n1∥n2,即n1=λn2,则
7、α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥β例4：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面ABD1⊥面A1FD证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则A(0,0,0),B(2,0,0),D1(0,2,2),E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),v于是细节决定未来www.zgjhjy.comv设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得v解之得v取z=1得n1=(0,-1,1)v同理可得平
8、面A1FD的法向量为n2=(0,1,1)v∵n1·n2=0-1+1=0v∴面ABD1⊥面A1FD2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则vM(1,
