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1、空间向量与立体几何一、高考《考试大纲》中对“空间向量与立体几何”部分的要求： （1）空间向量及其运算 ①了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. ②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. ③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. （2）空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量. ②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. ③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）. ④能用向量方法解决直线与
2、直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.二、基础知识归纳：1.向量的数量积：已知非零向量，则叫做的数量积。2.两向量夹角的求法：，立体几何中有关夹角的问题，一般用此式解决。3.⊥4.已知两点A(x1,y1，z1),B(x2,y2,z2)，则向量,线段AB的中点M的坐标是，A,B两点间的距离是4.若，则.5.用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：(1)化为向量问题:建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)进行向量运算:通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置
3、关系以及它们之间距离和夹角问题；(3)回到向量问题:把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。6.设A，B，平面α的法向量是，直线AB与平面α所成的角是θ，则7.设A，B，平面α的法向量是，点A到平面α的距离（一）、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）ABCA1B1C1Myz例1、在直三棱柱中，,,是得中点。求证：练习：棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？ABCDEFxyzMN例2如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且,求证：平面练习1、在正方体中,E,F
4、分别是BB1,,CD中点，求证：D1F平面ADEA1xD1B1ADBCC1yzEFABCDEPxyzF2、如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,，点E在PD上,且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.（二）、利用空间向量求空间的角的问题A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HG例1在正方体中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。A1xD1B1ADBCC1yzE1F例2在正方体中,F分别是BC的中点，点E在D1C1上,
5、且D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小A1xD1B1ADBCC1yzE例3在正方体中,求二面角的大小。A1xD1B1ADBCC1yzEF例4已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角的大小。（三）、利用空间向量求空间的距离的问题例1直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，，（I）求证：平面BCD；（I
6、I）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。例3直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。三、基础训练：1.如图5所示，、分别是⊙O、⊙O1的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是⊙O1的直径，,.(I)求二面角的余弦值；(II)求直线与所成角的正弦值.图52.如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A、B在直线l上的射影分别为A1、B1,已知AB=2
7、,AA1=1,BB1=,求:(Ⅰ)直线AB分别与平面α,β所成角的余弦值;(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的正切值.四、巩固练习：1.如图,在直四棱柱中,已知,，．（Ⅰ）设是的中点，求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．BCDAE2.如图，已知长方体,,直线与平面所成的角为,垂直于为的中点．（Ⅰ）求异面直线与所成的角的正弦值；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离3.如图,在中,,斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小
8、；（III）求与平面所成角的最大值．4.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（1）求证：AB1⊥面A1BD；（2）求二面角A－A1D－B的大小；（3）求点C到平
