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1、章末综合测评(三)空间向量与立体几何(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)→1．已知空间直角坐标系中有点A(－2,1,3)，B(3,1,0)，则
2、AB
3、＝________.[解析]→∵AB＝(5,0，－3)，→2＋2＋－2＝∴
4、AB＝334.
5、50[答案]342．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.[解析]由题意得2x13131＝＝，∴x＝，y＝－.－2y96213[答案]6－23．下
6、列有关空间向量的四个命题中，错误命题为________.【导学号：71392218】①空间中有无数多组不共面的向量可作为向量的基底；②向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行；③平面α的法向量垂直于α内的每个向量；④空间中的任一非零向量都可惟一地表示成空间中不共面向量的线性组合的形式．[解析]若向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行或在平面内，故②错误．[答案]②4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为89，则λ＝________.[解析]8·2－λ＋4由已知得，，9＝ab＝
7、a
8、
9、b
10、25＋λ
11、·9第1页∴82－λ，解得λ＝－或λ＝25＋λ＝255.3(6)2[答案]－2或55．△的三个顶点坐标分别为，，－31，C(－1,0，5ABCA(0,02)B2，2，22)，则角A的大小为________．→→3→31→23AB·AC[解析]AB＝－2，2，0，AC＝(－1,0,0)，则cosA＝→→＝1×1＝2，
12、AB
13、
14、AC
15、故角A的大小为30°.[答案]30°1111的中心为O，则下列各命题中，真命题是6．已知正方体ABCD-ABCD________．→→→→①OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量；→→→→②OB－OC与OA1
16、－OD1是一对相反向量；→→→→→→→→是一对相反向量；③OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋OD1→→→→④OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量．[解析]①∵四边形ADC1B1为平行四边形，O为对角线交点，→→与→→1是一对相反向量，∴①真；∴OA＋OD1＋OCOB→→→→→1＝→→→1，②∵OB－＝，1－OD11，＝1OCCBOADACBDA→→＝→→1，∴OB－OC1－ODOA∴②假；③如图，设正方形ABCD的中心为O1，正方形1111的中心为O2，则→ABCDOA→→→→→→→→→＋OB＋OC＋OD＝4OO1，O
17、A1＋OB1＋OC1＋OD1＝4OO2，第2页→→∵OO1与OO2是相反向量，∴③真；→→→→→→④OA1－OA＝AA1，OC－OC1＝C1C，→→是相反向量，∴④真．∵AA1与1CC[答案]①③④7．在空间直角坐标系O-xyz中，已知A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为________.【导学号：71392219】[解析]→→设点C的坐标为(x,0，z)，则AC＝(x－1,2，z－3)，AB＝(1,3，－4)，5→→x－12z－3x＝3，因为AC与AB共线，所以1＝3＝－4，解得1所以点
18、C的坐标为z＝3，513，0，3.51[答案]3，0，38．二面角α-l-β等于120°，A，B是棱l上两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于________．→→→[解析]设BD＝a，AB＝b，AC＝c，由已知条件，
19、a
20、＝1，
21、b
22、＝1，
23、c
24、＝1，〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝120°.→2→→→22222＋2a·b－2a·c－2b·c＝4，
25、CD
26、＝
27、CA＋AB＋BD
28、＝
29、－c＋b＋a
30、＝a＋b＋c→则
31、CD
32、＝2.[答案]2→→9．已知点A(1,2
33、,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA·QB取最小值时，点Q的坐标为________．[解析]→→→→2由题意可知OQ＝λOP，故可设Q(λ，λ，2λ)，则QA·QB＝6λ－16λ第3页＋10＝6λ－4224→→Q的坐标为3－，∴当λ＝时，QA·QB取得最小值，此时点334483，3，3.[答案]4，4，833310．在空间中，已知平面α过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点C(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.[解析]→→平面xOy的法
34、向量为n＝(0,0,1)，AB＝(－3，4,0)，AC＝(－3,0，a)，－3x＋4y＝0，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则－3x＋az＝0，则＝＝，取＝，则aa〈，〉＝2123x＝，，1，故4ya
