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《选修2-1第二章空间向量和立体几何章末复习课》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、空间向量与立体几何理网络•明结构空间向量及其运算-证明一线线平行线线垂有线而平行线面垂直面面平行而面垂直异面立线的夹角-计算一线而的夹角而而的夹角归要点•识重点1.空间向量的运算及运算律空I'可向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可以通过平移转化为平而向量，两个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立.2•两个向量的数量积的计算向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中.3.空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间坐标系，然后再利用有关公式计算求解.常用向量的直角坐标
2、运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空I'可角与空间距离的问题.4.空间向量的分解定理说明：用三个不共面的已知向量｛d,方，c｝可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的.3.利用向量解决儿何问题具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件屮的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解.4.利用向量坐标解决立体儿何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，
3、只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.探题型•提能力题型一空间向量及其运算空间向量的运算主要包括•空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算.空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致.主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体儿何问题的基础.例1如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①SA+SB+SC+SD=O；②SA+SB-SC~SD=O；®SA-SB+SC-SD=O；④SASB=SCSD；⑤SASC=O,其中正确
4、结论的序号是・答案③④解析容易推出：5^-SB+SC-S£）=BA+DC=0,所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA=SB=SC=SD=2,所以SASB=2-2cosZASB,SC-5D=2-2cosZCSP,而ZASB=ZCSD,于是莎•莎=元•纭，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.A跟踪训练1如图所示，直三棱柱ABC~A]B]C]中，AB丄AC,M是CG的中点，Q是BC的中点，P是A/】的中点，则直线PQ与AM的夹角为（）答案D解析以A为坐标原点，AC、AB、AA所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
5、设AA=AB=AC=2,则丽=1►1>►jr(2,0,1),0(1,1,0),P(0,l,2),QP=(—1,0,2),所以QPAM=0f所以QP与AM的夹角为刁题型二利用空I'可向量证明空间中的位置关系向量作为工具来研究儿何，真正把儿何的形与代数屮的数实现了有机结合；给立体儿何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等.用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下.1.线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.2.线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向
6、向量垂直，则a丄bOa・b=0.3.线面平行用向量证明线而平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量.4.线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平而的法向量平行；②利用线而垂直的判定定理转化为线线垂直问题.5.面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题.6.垂直①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题.例2如图，已知在直三棱柱ABC
7、—AxBxCx中.AC1BC.D为AB的中点，AC=BC=BB.求证：(1)BQ丄A5；(2)BQ//平面CAiD.证明如图，以G为原点，分别以GA,GC所在直线为兀轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AC=BC=BB、=2,则4(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),Ai(2,0,0),5(020),Cj(0,0,0),01,1,2).(1)由于BCi=(0,-2,-2),AB
8、=(—2,2,—2),因此荒i•历］=0—4+4=(),因此荒1丄历1，故BC］丄AB}.(1)取A］C的中点E,连接DE,由于£(1,0,1)，所以丽=(0,1,1)
9、,又荒1=(0,-2,-2),所以丽=
