振动与波动1-振动.ppt

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1、振动与波动VIBRATIONANDWAVE第一章振动§1.1简谐振动任何物理量随时间做周期性变化都叫做振动。例如，位矢、电流、电压、电场、磁场、密度等。物体在某位置附近来回运动叫机械振动。物理量按余(正)弦规律随时间变化,叫简谐振动。一、弹簧振子的运动特征：OxxkmF弹性力牛二律最简单的振动是简谐振动，任何振动都可由简谐振动合成得到。加速度得此即简谐振动微分方程其解为为简谐振动运动函数，其中A,为待定系数。此微分方程可用来判断简谐振动。式中速度2xωtO-A-A二、特征量：1.振幅A：表征振动的强度。2.角

2、频率：表征振动的快慢。单位rad/s或s-1。T为周期，单位为sv为频率，单位为s-1或Hz3.初相：t=0时刻的相位。相位指t+。说明1.角频率是弹簧振子的固有物理特征，称为固有角频率。2.振幅A，初相决定于初始时刻的选择，具有任意性，因此不是弹簧振子的固有物理特征。振幅A决定于振动的能量(E=kA2/2=mω2A2/2)。三、确定特征量的方法：1.2.A,由初始条件确定，或由任意时刻的位移、速度确定。已知t=0时，x=x0,v=v0，得到所以利用第二个公式求得出两个值，而利用两个公式则求出唯一正

3、确的值。例1证明如图所示系统做简谐振动，并求角频率。Oxm2gkm1m2MT3T3T2T1T2解：以弹簧固有长度的端点为坐标原点，向右为正建立一维坐标系。受力分析。由牛二律和转动定律得还有得令得标准形式简谐振动微分方程例2水平弹簧振子，弹簧倔强系数k=24N/m，重物质量m=6kg，重物静止在平衡位置。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体(不计摩擦),使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。解：设物体的运动方程为x=Acos(t+)恒外力所做的功

4、等于弹簧获得的机械能，当物体运动到最左端时，这些能量全部转化为弹簧的弹性势能mkFx–A–sO角频率物体运动到–A位置时计时，Acos=–A，初相=所以物体的运动方程为x=0.204cos(2t+)(m)mkFx–A–sO思考：物体运动到–s位置时计时，情况怎样?四、利用旋转矢量表示简谐振动：tAωOxxA-A圆周的半径—振幅A旋转角速度—角频率旋转矢量与x方向的夹角—相位t+2相位用来比较振动的步调：t=0t123123质点2振动落后于质点1振动质点3振动超前于质点1振动质点简谐振动可表示为

5、质点匀速圆周运动在某方向(此处为x方向)上的投影。tOOxtAt=0tOtxA-Av超前x相位/2a超前v相位/2a超前x相位，或a与x反相xavT例2如图所示简谐振动，已知周期T，求(1)初相；(2)a,b两点相位；(3)从t=0开始到a,b两点的时间。xA/2TOtAabxab-/3ω解：(1)(2)a点相位b点相位(3)已求出和，解得ta=T/6,tb=5T/12五、其它简谐振动实例：1.单摆：mgft取逆时针方向为角位移的正向，则小球做圆周运动的切向力为很小由得这就是单摆的角位移满足

6、的微分方程，因此单摆的摆动是简谐振动。其角频率和周期分别为lT2.复摆：摆动的刚体叫做复摆。mglO很小取逆时针方向为角位移的正向，则复摆受到的对于转轴O的重力矩为由转动定律得这就是复摆的角位移满足的微分方程，因此复摆的摆动是简谐振动。其角频率和周期分别为，,用复摆可以测量刚体的转动惯量。C3.电谐振荡：电容C和电感L组成的电路中，电容器电量q和电路中电流i的振荡。GC+q－quCLLKi感生电动势与电容电压满足L+uC=0由L得这也是简谐振动满足的微分方程。其解为例3单摆钟摆长l=0.995m，(1

7、)在某地发现此钟每天快1分30秒；(2)在另一地发现此钟慢了2分15秒,问分别如何调整摆长，才能使钟正确？解：不能用g=9.8m/s2求标准钟摆长，因为不同地点重力加速度的不同正是造成此钟忽快忽慢的原因。(1)此钟，此地标准钟二式相除(不能相减，为什么？)得调长2.07mm(2)此钟，此地标准钟调短3.11mm§1.2简谐振动的能量所以机械能为可见，弹簧振子的总能量不随时间改变(机械能守恒)，而且与振幅的平方成正比。弹簧振子的势能和动能分别为动能与势能的大小都发生振荡，振动周期为T/2。xEEpEkT2TtOtOx

8、A-AEkEpOEpx振子的动能与势能互相转化。振子不能到达

9、x

10、>A的区域，因为势能不能超过E，否则动能将变为负值。势能和动能对时间的平均值例(习题1.22)121g水银装在U形管中，管截面积0.30cm2。证明水银上下振动为简谐振动，并求振动周期。解：水银不适于当成质点，故不适于用牛二律分析。这里用能量法解。以水银面相平时为势能为零的状态，对y求导-yy