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1、求二次函数的表达式二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点.这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角函数等综合在一起，出现在压轴题之中.因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的表达式是解决综合应用题的基础和关键.复习引入一、二次函数常用的几种表达式的确定已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式.已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式.已知抛物线与x轴的交点坐标，通常选择交点式.1.一般式2.顶点式3.交点式【知识网络】1.一个二次函数的图象经过(0
2、，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式。2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中的x，y满足下表，求这个二次函数的表达式。3.如下图所示，函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(-1,0),B(5，0),C(0，--2.5),求这个二次函数的表达式。例：如下图，已知二次函数的图象过A，C，B三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C在y轴正半轴上，且AB＝OC。(1)求点C的坐标；(2)求二次函数的表达式，并将其化成一般形式。解法一：一般式解：设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋5，把A(－1，0)，B(4，0)的坐
3、标代入原函数表达式得出a＝-1.25，b＝3.75，所以这个二次函数的表达式为y＝-1.25x2＋3.75x＋5。解法二：交点式设二次函数表达式为y＝a(x+1)(x－4)，把点C的坐标为(0，5)，代入函数表达式得出a＝-1.25，所以这个二次函数的表达式为y＝-1.25(x+1)(x－4)，即y＝-1.25x2＋3.75x＋5。可以用顶点式求解吗？如果可以，和前两种解法比较，哪种方法最好？思考：本题可采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用交点式求解比用顶点式和一般式求解简便.同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、
4、解题方法开放的培养.注重解题技巧的养成训练，可事半功倍.评析：【归纳升华】探究3图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？解一：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，如图所示.∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:当拱桥离水面2m时,水面宽4m即抛物线过点(2,-2)∴这条抛物线所表示的二次函数为:当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:∴当水面下降1m时,水面宽度增加了解二：如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直
5、角坐标系.当拱桥离水面2m时,水面宽4m即:抛物线过点(2,0)∴这条抛物线所表示的二次函数为:当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:∴当水面下降1m时,水面宽度增加了∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:此时,抛物线的顶点为(0,2)解三：如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:∵抛物线过点(0,0)∴这条抛物线所表示的二次函数为:当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:∴当水面下降1m时,水面宽度增加了此时,抛物
6、线的顶点为(2,2)∴这时水面的宽度为:【归纳升华】本题通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数表达式，但结果是相同的，恰当地选择坐标系可以使得解答简便，明确易懂。1.二次函数常用表达式(1)已知图象上三点坐标，通常选择一般式.(2)已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式.(3)已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择交点式.一般式顶点式交点式2.求二次函数表达式的一般方法：一、要点归纳转化思想解方程或方程组二、求二次函数表达式的思想方法1.求二次函数表达式的常用方法：2.求二次函数表达式的常用思想：3.二次函数表达式的最终形
7、式：待定系数法、配方法、数形结合法等.无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为一般式.课后作业：（1）已知一个二次函数的图象经过A(0，－3)，B(1，0)，C(m，2m＋3)，D(－1，－2)四点，求这个函数的表达式以及点C的坐标。（2）已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且过点(1，－3)。①求这个二次函数的关系式；②写出该抛物线的开口方向、对称轴。（3）已知二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)。①判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，并说明理由；②若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)
8、三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；③若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函
