角与圆的关系.ppt

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1、角与圆的关系王建波角的顶点与圆的位置关系顶点在圆内，由两条弦在圆内相交所成的角叫圆内角顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角顶点在圆外，由圆的两条割线组成的角叫圆外角圆内角与圆的关系如右图，已知在⊙O中，弦AB、CD交于点P。连OA、OB、OC、OD和BC。在⊙O中，∠BCD=∠BOD（圆周角定理）；同理，∠ABC=∠AOC。∵∠APC是△PCB的外角，∴∠APC=∠BCD+∠ABC=∠BOD+∠AOC=(∠BOD+∠AOC)∴圆内角的度数等于它所对的两条弧的度数的和的一半。相交弦定理：圆的相交弦被交点分成的两线段的积相等圆周角与圆的关系

2、已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC图1圆周角与圆的关系情况2：如图2,当圆心O在∠BAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半径解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=

3、∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC图2圆周角与圆的关系情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。解：∵OA、OB、OC、是半径∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的

4、外角等于两个不相邻两个内角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC图3圆周角与圆的关系根据情况证明可得定理：圆周角的度数应等于它所对弧所对圆心角的度数的一半。定理推论：圆周角的度数应等于它所对的弧的度数的一半。圆外角与圆的关系如图，连AD，则∠D=1/2弧AC的度数，∠DAB=1/2弧BD的度数则由三角形外角公式：∠P=∠BAD-∠D=1/2(弧BD的度数-弧AC的度数)割线角的度数等于它所对的两条弧的度数的差的一半。圆外角与圆的

5、关系已知：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线求证：PA·PB=PC·PD证明：连接AD、BC∵∠A和∠C都对弧BD∴由圆周角定理，得∠A=∠C又∵∠P=∠P∴△ADP∽△CBP（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。）∴AP:CP=DP:BP即AP·BP=CP·DP割线定理从圆外一点引圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段的积，等于另一条割线上对应线段的积。圆外角与圆的关系切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB证明：连接AT,B

6、T∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)∠APT=∠TPA(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·PA切割线定理从圆外一点引圆的一条切线和一条割线，切线长的平方等于割线与他在圆外部分的积；切割角度等于它所对的两条弧的度数的差的一半。圆外角与圆的关系如图，OC、OB为圆的两条半径，又∠ABO=∠ACO=90°在Rt△ABO和Rt△ACO中｛∴Rt△ABO≌Rt△ACO（H.L）∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC。AO=AOCO=BO切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线

7、，切线长相等；圆外一点与圆心的连线平分这两切线夹角；切线角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。谢谢