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1、3.4拉格朗日插值公式人教B版数学选修4-6《初等数论初步》首先考察线性插值的简单情形。问题3求作一次式p1(x)，使满足条件：p1(x0)=y0,p1(x1)=y1从几何图形上看，y=p1(x)表示通过两点(x0,y0),(x1,y1)的直线。因此，一次插值亦称线性插值。上述简单的线性插值是人们所熟悉的，它的解p1(x)可表为下列点斜式例2已知(3)解：这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11.令x=115代入（3）,求得y=10.71428，这个结果有3位有效数字（试与例1的结果相比较）.1、线性插值我们知道，线性公式（3）亦可
2、表示为下列对称式（4）若令：则有：p1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)（5）注意，这里的l0(x)和l1(x)分别可以看做是满足条件l0(x0)=1,l0(x1)=0l1(x1)=1,l1(x0)=0的插值多项式.这两个特殊的插值多项式称作问题3的插值基函数（参考图1-1、1-2）.式（5）表明，插值问题3的解p1(x)可以通过插值基函数l0(x)和l1(x)组合得出，且组合系数恰为所给数据y0,y1.yxx10x01l0(x)0x1x01l1(x)图1-1图1-22、抛物插值线性插值仅仅利用两个节点上的信息，精确度自然很低，为了提高精确度
3、，进一步考察下述二次插值。问题4求作二次式p2(x),使满足条件p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2(6)二次插值的几何解释是，用通过三点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)的抛物线y=p2(x)来近似所考察的曲线y=f(x),因此这类插值亦称为抛物插值。2011-6-1考试答卷为了得出插值公式p2(x),先解决一个特殊的二次插值问题：求作二次式l0(x)，使满足条件l0(x)=1,l0(x1)=l0(x2)=0（7）这个问题是容易求解的，事实上，由式（7）的后两个条件知，x1,x2是l0(x)的两个零点，因而l0
4、(x)=c(x-x1)(x-x2)再利用式（7）剩下的一个条件l0(x0)=1确定系数c，结果得出类似的可以构造出满足条件：l1(x1)=1,l1(x0)=l1(x2)=0l2(x2)=1,l2(x0)=l2(x1)=0。的插值多项式l1(x)与l2(x),其表达式分别为：这样构造出的l0(x),l1(x)和l2(x)称作问题4的插值基函数设取已知数据y0,y1,y2作为组合系数，将插值基函数l0(x),l1(x),l2(x)组合得：容易看出这样构造出的p2(x)满足条件（6）。因而他就是问题4的解例3利用100,121和144的开方值求解：用抛
5、物插值，这里x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,x2=144,y2=12.令x=115代人式（8），求得近似值为10.7228.同精确值比较，这里得到有4位有效数字的结果。3.一般情况进一步求解一般形式的问题2.仿照线性插值和抛物插值所采用的方法，仍从构造所谓插值基函数入手.这里的插值基函数lk(x)=0,1,2,…,n)是n次多项式，且满足条件这表明除xk以外的所有节点都是lk(x)的零点故这里∏的含义是累乘，表示乘积遍取下标j从0到除k以外的全部值.利用插值基函数容易得出问题2的解事实上由于每个插值基函数lk(x)都是n次式，
6、pn(x)的次数≤n，又据（9）式有即pn(x)满足插值条件（2）.式（10）称作拉格朗日插值公式.该公式的形式对称，结构紧凑，因而容易编写计算程序.事实上，式（10）的逻辑结构上表现为二重循环.内循环（j循环），然后再通过外循环（k循环）累加得出插值结果y.图1-3是拉格朗日方法的算法图框.开始输入x(xi,yi),i=0,1,2,…,n0→y0→k1→ty+t·yk→yK=n?≠k+1→k=输出y结束图1-3想想我们本节讲了什么？再见
