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1、拉格朗日插值公式的证明及其应用摘要:拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承,体现了代数中"线性化"(即表示为求和和数乘的形式)这一基本思路,大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际
2、生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷.关键词：拉格朗日插值公式唯一性证明解题应用资产评估曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点是准确的，这些数据点所表现的准确函数关系是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线是否稳定地收敛于未知函数，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值.一.定义，推导及其
3、在解题中的应用１.线性插值１.１.线性插值的定义假定已知区间的端点处的函数值,,要求线性插值多项式使它满足,．的几何意义:通过两点和的直线，如图１所示，的表达式由几何意义直接给出，即 (点斜式)， 图１(两点式)．13由两点式方程看出，由两个线性函数,的线性组合得到,其系数分别为及,即．显然,及也是插值多项式,在节点及上满足条件，，，．称函数,（图２）及（图３）为一次插值基函数或线性插值基函数.图象为：图2 图3１.２.线性插值例题例1.已知用线性插值计算.解：由题意取，，．
4、若取为节点，则线性插值为： .若取为节点，则线性插值为： .13２.二次插值２.１.二次插值的定义若时,假定插值节点为要求二次插值多项式,使它满足()的几何意义:通过三点的,,的抛物线.例如，因为它有两个零点，故可表示为：.由得.所以， .同理，.函数,,称为二次插值基函数或抛物插值基函数.在区间上的图形分别为:利用二次插值基函数,,,立即可得到二次插值多项式13显然,它满足条件.即++２.２.拉格朗日公式（二次插值）在解题中的应用例2.已知函数（为实数）。若，，则的最大
5、值是多少？提示：由是偶函数，得.令节点，由拉格朗日插值公式（抛物插值）得注：用高中知识很难解决该题，从此题中可知拉格朗日公式在解题中的方便与快捷.例3.已知求证：中至少有一个值不小于．证明：根据二次函数的插值公式比较上式两边的系数，有假若都小于，则1=得出矛盾.所以，中至少有一个值不小于13注：这是一道全国高中数学联赛题，对高中生有一定难度，但应用高等数学知识来做却易如反掌。从这方面可看出高等数学的学习对我们中学数学教学的指导有重要作用。例4．设为非等腰的三边长，为面积。求证：分析：由不等式左边分母联想到拉
6、格朗日插值公式证明：构造二次多项式：则由拉格朗日插值公式得比较等式两边的系数得由海伦公式得因为不全相等，所以，上式等号不成立.于是， 小结：由此可推广：设为互不相等的个数，则．例5．二次函数满足，则的值是多少？提示：由拉格朗日插值公式可设例６．已知求的近似值解：令，列表1).用线性插值多项式13三组数据中，可以任取两组数据构造线性插值多项式．鉴于插值点所处的位置，应选取构造．所以，2).用抛物插值多项式用全部数据构造抛物插值多项式所以，结论：对比时，抛物插值更精确．例7.已知满足求的取值范围
7、.分析：解决本题关键是用表示，用高中知识联立方程组求出并代入，从而确定的取值范围，这样做过程较繁，而使用二次函数的拉格朗日公式却恰到好处.解：由二次拉格朗日公式得则由已知得3.次Lagrange插值多项式上面对及的情况,得到一次与二次插值多项式及,用插值基函数表示的方法容易推广到一般情形.下面讨论个节点的次插值多项式,假定它满足条件 （１）13为了构造,先定义次插值基函数．定义：若次多项式在个节点上满足条件 就称这个次多项式为节点上的次插值基函数．类似及的推导方法，可得次插值基函数为 ．满足（１）的插值多
8、项式可表示（２）由的定义知 ．形如(２)式的插值多项式称为Lagrange插值多项式．令易求则（２）可改写为：注意:次插值多项式通常是次数为的多项式,特殊情况次数可能小于．二．拉格朗日（Lagrang）插值公式的证明设已知函数在个互异的点处的函数值，现构造一个次数不超过的多项式，使满足，.（３）1.唯一存在性满足插值条件（３）的次数不超过次的多项式13(４)是唯一存在。证明：把条件（３）带入（４）式得：以的系数组
