拉格朗日插值算法应用

《拉格朗日插值算法应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、拉格朗日插值算法在胡克定律中以及非弹性形变中的应用摘要：本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在胡克定律中的运用，由于对于一些弹性物体如弹簧在长时间的使用中会产生误差，非弹性形变，使用胡克定律则会产生误差。故运用拉格朗日插值的公式，以及它在matlab中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值亦可以用来测量一些固有非弹性物体如一根金属丝所产生形变时所受力的大小。关键词：算法、拉格朗日插值公式、算法程序；胡克定律、金属丝、弹簧。引言：约瑟夫·拉格朗日(JosephLouisLagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡

2、献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange插值有很多种，1阶，2阶,…n阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。2，算法描述2.1插值算法原理已知函数y=f(x)在若干点的函数值=（i=0,1,,n）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p()=,i=0,1,,n,(1)则p(x)为f(x)的插值函数，而f

3、(x)为被插值函数会插值原函数，，，，...,为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点求f()数值解，我们称为一个插值节点，f()p()称为点的插值，当[min(，，，...,)，max(，，，...,)]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n次多项式时称为n阶Lagrange插值。2.2Lagrange插值公式（1）线性插值设已知，及=f(),=f(),为不超过一次多项式且满足=,=,几何上，为过（，），（，）的直线，从而得到=+（x-）.（2）为了推广到高阶问题，我们将式（2）变成对称式=（x）+(x).其中，（x）=,(x)=。均为1次多

4、项式且满足（x）=1且(x)=0。或（x）=0且(x)=1。两关系式可统一写成=。（3）（2）n阶Lagrange插值设已知，，，...,及=f()(i=0,1,.....,n),为不超过n次多项式且满足（i=0,1,...n）.易知=（x）+....+.其中，均为n次多项式且满足式（3）（i,j=0,1,...,n）,再由（ji）为n次多项式的n个根知=c.最后，由c=,i=0,1,...,n.总之，=，=式为n阶Lagrange插值公式，其中，（i=0,1,...n）称为n阶Lagrange插值的基函数。2.3，Lagrange插值余项设，，，...,[a,b],f(

5、x)在[a,b]上有连续的n+1阶导数，为f(x)关于节点，，，...,的n阶Lagrange插值多项式，则对任意x[a,b],其中，位于，，，...,及x之间（依赖于x），(x)=3、拉格朗日插值在胡克定律上的应用n次拉格朗日函数插值程序：functionLagrangesNs()%用于求过n点的拉格朗日n-1次插值多项式options={'Nameofdatafile'};title='Lagranges_points';lineNo=2;def={'Lagranges.dat'};outval=inputdlg(options,title,lineNo,def);i

6、fisempty(outval)==1,return,endfilename=outval{1};data=load(filename);x=data(:,1);y=data(:,2);lagrangesN(x,y);endfunctionlagrangesN(x,y)%画出已知n个点的位置plot(x,y,'*');holdon%n次拉格朗日多项式为y=a0+a1*x+a2*x^2+…+a(n-1)*x^(n-1)%其中a0a1a2…a(n-1)为待求系数n=length(x);X=Vandermonde(x,1);A=Xy;%绘制插值函数图象x1=linspace(

7、0,max(x));x2=Vandermonde(x1',n);y1=x2*A;plot(x1',y1);holdon%显示公式func=['y=',num2str(A(1))];fori=2:n;b=['+',num2str(A(i)),'*x^',num2str(i-1)];func=[func,b];endtext(0.8,0.8,func);end%创建一个Vandermonde行列式functionXX=Vandermonde(x,m)%创建x的列向量ifm==1n=length(x);XX=zeros(n);for