插值法(拉格朗日插值).ppt

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1、问题的提出拉格朗日插值牛顿插值埃尔米特插值曲线拟合的最小二乘法第三章插值法/*Interpolation*/§1问题的提出函数y=f(x)1）解析式未知；2）虽有解析式但表达式较复杂，通过实验计算得到的一组数据，即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，xx0x1x2……xny=f(x)y0y1y2……yn3）列表函数问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导数等。因此需寻找y=f(x)的近似函数p(x),但要求p(xi)=f(xi)。——插值问题已知精确函数y=f(x)在一系列节点x0…xn处测得函数

2、值y0=f(x0),…yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数p(x)f(x)，满足条件p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的p(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?多项式x0x1x2x3x4xp(x)f(x)§1.1Taylor插值函数y=f(x)在点x0处展开有Taylor多项式:可见:Pn(k)(x0)=f(k)(x0)k=0,1,…,n因此,Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).Taylor展开方法就是一种插值方法.泰勒插值要求提供f(x)在点x0处的各阶导数,这仅仅适用于f(x)相当简单的情况.设函数y=f(x)在

3、区间[a,b]上有定义，且给出一系列点上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n)，求作n次多项式pn(x)使得pn(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)函数pn(x)为f(x)的插值函数；称x0,x1,…xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间[a,b]称为插值区间。pn(xi)=yi称为插值条件。构造的n次多项式可表示为:Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn§1.2Lagrange插值定理(插值多项式的存在唯一性)满足的n阶插值多项式是唯一存在的。证明：(利用Vandermonde行列式论证)这是一个关于a0,a1,…an的n+1元

4、线性方程组,其系数行列式:由于i≠j时,xi≠xj,因此,即方程组有唯一解.§2拉格朗日插值公式niyxPiin,...,0,)(==求n次多项式使得条件：无重合节点，即n=1已知x0,x1;y0,y1，求使得111001)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl称为拉氏基函数直线方程的两点式：线性插值l0(x)l1(x)==10)(iiiyxlL1(x)抛物插值l0(x)l1

5、(x)l2(x)n1li(x)每个li有n个根x0…xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(N次拉格朗日插值多项式与有关，而与无关节点f希望找到li(x)，i=0,…,n使得li(xj)=；然后令==niiinyxlxP0)()(，则显然有Pn(xi)=yi。n次多项式插值余项/*Remainder*/设节点在[a,b]内存在,考察截断误差，且f满足条件,用简单的插值函数Ln(x)代替原复杂函数f(x),其精度取决于截断误差,即插值余项.——拉格

6、朗日余项定理注：通常不能确定,而是估计,x(a,b)将作为误差估计上限。当f(x)为任一个次数n的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。例：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50并估计误差。解：n=1分别利用x0,x1以及x1,x2计算利用这里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推/*extrapolation*/的实际误差0.01001利用sin500.76008,内插/*interpolation*/的实际误差0.00596内插通常优

7、于外推。选择要计算的x所在的区间的端点，插值效果较好。n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的实际误差0.00061高次插值通常优于低次插值但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……拉格朗日插值多项式编程容易，只需双重循环如果发现当前的插值方法不够精确，就要增加插值点的个数，则拉格朗日插值基函数li(x)都将重新计算。牛顿插值法将讨论该问题。例：已知数据表xk10111213f(xk)2.30262.39792.48492.5649试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数)．解：因为11.75更接近

8、12，故应