插值法(拉格朗日插值)培训讲学.ppt

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1、插值法(拉格朗日插值)已知精确函数y=f(x)在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数p(x)f(x)，满足条件p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的p(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?多项式x0x1x2x3x4xp(x)f(x)§1.1Taylor插值函数y=f(x)在点x0处展开有Taylor多项式:可见:Pn(k)(x0)=f(k)(x0)k=0,1,…,n因此,Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).Taylor

2、展开方法就是一种插值方法.泰勒插值要求提供f(x)在点x0处的各阶导数,这仅仅适用于f(x)相当简单的情况.设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且给出一系列点上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n)，求作n次多项式pn(x)使得pn(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)函数pn(x)为f(x)的插值函数；称x0,x1,…xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间[a,b]称为插值区间。pn(xi)=yi称为插值条件。构造的n次多项式可表示为:Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

3、§1.2Lagrange插值定理(插值多项式的存在唯一性)满足的n阶插值多项式是唯一存在的。证明：(利用Vandermonde行列式论证)这是一个关于a0,a1,…an的n+1元线性方程组,其系数行列式:由于i≠j时,xi≠xj,因此,即方程组有唯一解.§2拉格朗日插值公式niyxPiin,...,0,)(==求n次多项式使得条件：无重合节点，即n=1已知x0,x1;y0,y1，求使得111001)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。)()(0010101xxxxyy

4、yxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl称为拉氏基函数直线方程的两点式：线性插值l0(x)l1(x)==10)(iiiyxlL1(x)抛物插值l0(x)l1(x)l2(x)n1li(x)每个li有n个根x0…xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(N次拉格朗日插值多项式与有关，而与无关节点f希望找到li(x)，i=0,…,n使得l

5、i(xj)=；然后令==niiinyxlxP0)()(，则显然有Pn(xi)=yi。n次多项式插值余项/*Remainder*/设节点在[a,b]内存在,考察截断误差，且f满足条件,用简单的插值函数Ln(x)代替原复杂函数f(x),其精度取决于截断误差,即插值余项.——拉格朗日余项定理注：通常不能确定,而是估计,x(a,b)将作为误差估计上限。当f(x)为任一个次数n的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。例：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50

6、并估计误差。解：n=1分别利用x0,x1以及x1,x2计算利用这里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推/*extrapolation*/的实际误差0.01001利用sin500.76008,内插/*interpolation*/的实际误差0.00596内插通常优于外推。选择要计算的x所在的区间的端点，插值效果较好。n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的实际误差0.00061高次插值通常优于

7、低次插值但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……拉格朗日插值多项式编程容易，只需双重循环如果发现当前的插值方法不够精确，就要增加插值点的个数，则拉格朗日插值基函数li(x)都将重新计算。牛顿插值法将讨论该问题。例：已知数据表xk10111213f(xk)2.30262.39792.48492.5649试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数)．解：因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值．先作插值基函数．已知x0=11,y0=2.3979，x1=12,y0=2.4849，x2=13,y

8、2=2.5649Ｌ2(x)=f(11.75)Ｌ2(11.75)=例已知x=1,4,9的平方根值，用拉格朗日插值公式求71/2解：x0=1,x1=4,x2=9f(x0)=1,f(x1)=2,f(x2)=3L2(7)=(1–4)(1–9)(7–4)(7–9)*1+(4–1)(4–9)(7–1)(7–9)*2+(9–1)(9–4)(7–1)(7–4)*3=2.7