拉格朗日 插值new

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1、2013参考数学建模常用方法：数学建模常用方法系列资料由圣才大学生数学建模竞赛网整理收集。希望能对您有所帮助！拉格朗日插值注：参考<数学建模与数学实验>5．2．1基函数p(x)由上一节的证明可以看到，要求插值多项式n，可以通过求方程组（5．1．22）的a,a,...ap(x)解01n得到，但这样不但计算复杂，且难于得到n的简单表达式。x,x,...x考虑简单的插值问题：设函数在区间[a，b]上n＋1个互异节点01n上的函数值为1,jiyjij0,ji,j＝0，1，…，nl(x)求插值多项式i，满足条件l(x)iijj＝0，1，…n，i＝0，1，…，nx

2、,x,...,x,x,...,xl(x)l(x)H由上式知，01i1i1n是i的根，且i∈n，可令l()x)A(xx)(xx)...(xx)(xx)...(xxii01i1i1nl(x)1再由ii得1Ai(xx)(xx)...(xx)(xx)...(xx)i0i1ii1ii1in于是(xx)(xx)...(xx)(xx)...(xx)01i1i1nl(x)i(xx)(xx)...(xx)(xx)...(xx)i0i1ii1ii1inl(x),l(x),...,l(x)x,x,...xn＋1个n次多项式01

3、n称为以为01n节点的n次插值基函数。n＝1时的一次基函数为（图5－2）：xxxx10l(x),l(x)01xxxx．0110n＝2时的二次基函数为（图5－3）：(xx)(xx)12l(x)0(xx)(xx)0102(xx)(xx)02l(x)1(xx)(xx)1012(xx)(xx)01l(x)2xxxx(20)(21)5－25－35．2．2拉格朗日插值多项式x,x,...x现在考虑一般的插值问题：设函数在区间[a，b]上n＋1个互异节点01n上的函数,y,y,...yp(x)值分别为01n，求n次插值多项式n，满足条件p(x)

4、y,njjj＝0，1，…n令nLn(x)y0l0(x)y1l1(x)...ynln(x)yili(x)i0（5．2．3）l(x),l(x),...,l(x)x,x,...xL(x)其中01n为以01n为节点的n次插值基函数，则n是一次数不超过n的多项式，且满足L(x)ynjj，j＝0，1，…，n再由插值多项式的唯一性，得p(x)L(x)nn式（5．2．3）表示的插值多项式称为拉格朗日（Lagrange）插值多项式。特别地，n＝1时称为线性插值（图5－4（a）），n＝2时称为抛物插值或二次插值（图5－4（b））。l(x),l(x),...,l(x)x,x

5、,...x值得注意的是，插值基函数01n仅由插值节点01n确定，与被插x,x,...x函数f（x）无关。因此，若以01n为插值节点对函数f（x）≡1作插值多项式，则由式（5．2．3）立即得到基函数的一个性质nli(x)i0≡1x,x,...x还应注意，对于插值节点01n，只要求它们互异，与大小次序无关。5－4x例1已知y＝x，0＝4，x1＝9，用线性插值求7的近似值。y解0＝2，y1＝3，基函数分别为x41x41l(x)(x9),l(x)(x4)01495945插值多项式为11L(x)yl(x)yl(x)2(x9)3(x4)10

6、011551(x6)5所以137L(7)2.615例2求过点（－1，－2），（1，0），（3，－6），（4，3）的三次插值多项式。xx解以0＝－1，x1＝1，x2＝3，3＝4为节点的基函数分别为(x1)()x3)(x4)1l(x)(x1)(x3)(x4)0(11)(13)(14)40(x1)(x3)(x4)1l(x)(x1)(x3)(x4)1(11)(13)(14)12(x1)(x1)(x4)1l(x)(x1)(x1)(x4)2(31)(31)(34)8(x1)(x1)(x3)1l(

7、x)(x1)(x1)(x3)3(41)(41)(43)15插值多项式为3L3(x)yili(x)i111(2)(x1)(x3)(x4)0(x1)(x3)(x4)401211(6)(x1)(x1)(x4)3(x1)(x1)(x3)81532x4x35．2．3插值余项RL插值多项式的余项n（x）＝f（x）－n（x），也就是插值的截断误差或方法误差。关于余项有如下的余项定理：(n1)定理设被插函数f（x）在闭区间[a，b]上n阶导数连续，f(x)在开区间（