浅析拉格朗日插值法的原理及其应用new

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1、吉林贝寸贫学院学报年第期浅析拉格朗日插值法的原理及其应用林秀梅,、、,在社会经济统计中取得和掌握全面真实可靠的原始数据资料是极重要的是、。,进行科学的统计分析谁确的预测和正确的决策的基础但是在实际中由于历史的原,,因以及其他各种情况经常出现所需资料的空白或缺少这些缺少的资料有时是无法,。,、重新获得的这便给科学的统计分析带来影响为了补全缺少的资料全面紧统地进,,,行统计分析在社会经济统计中经常采用抓值估计法最常用的方法有内插法线性插。,,。值法和拉格朗日插值法内插法和线性插值法方法简单意义明确便于掌握和使用,,而拉格朗日插值法计算比较复杂很多

2、统计学原理论著中只列出公式没有说明它的原。,,,理这样由于读者对其意义不甚理解往往不易接受这种方法从而影响了在实际中。。的使用本文试图结合实际阐明拉格朗日插值法的原理及其应用,﹄‘乒屯飞毛毛飞飞毛几几三毛飞飞云毛毛几飞几飞飞飞毛毛毛飞飞毛飞‘旧吸口﹄,﹃一﹄川夕铲今小设有一个年产吨的食品加工厂需要统计其生产,,。分析一个实际问题费用但由于该厂各项资料不全无法统计在这种情况,屯、毛毛,、性一长砚认长下统计部门收集了设备生产能力和该厂大致相同的五个食品加工厂的产量与生产费川资料如下表丁一工厂名称⋯⋯⋯生产量屯⋯二一一⋯生产费用万元匕立立一二一如何

3、根据已知五个食品加工厂的资料较准确地估计该厂的生产费用呢现用表示,。,生产量表示生产费用如果用比例推算法按甲厂资料则该厂的生产费用应为万元,如果用线性插值法按甲厂和戊厂资料该厂的生产费用应为一二二火一旦旦盛一万元一这两种估计法用图表示如下,丫比例推算法线性插下汽法,·、,,比,二连。一例推算是用过原点和从的直线来估计为下〔,,一,。,,线性插值是用过点和点为直线来估计。一时的值,这两种方法都是用直线来估计依据不同的已知资料不同的点便得到不同的佑,。计值无法确定用哪个值来估计更好同时这些估计只利用了已知资料数据的一个或两,,。个没有完全利用已知

4、资料难免会有偏差一个新的想法便是充分利用已知信息来估,。计未知数据即利用所有五个数据来估计一时的值从而在数学上就要设法寻找一条曲线,使它讨所有五个点、用这条曲线‘来估计一时的依。如图才万扩以山弋岁毕瑞厂一大、、一,,这样利用全部已知资料估计将更接近实际但是能否找到这样的曲线呢,。价侣飞、︷。岁川尸川让我们循着冈才的思路来寻找这条曲线狱二︸︸拉︸格︸朗︸日︸插一︸值︸法︸的︸产︸生︸原三狱理︸添,根据数学知识可知对于平面上已知的个︺竹考一无两点在一铅直线上可以找到一个次多项式·一二十⋯,一刀使此多项式曲线过这个点。,,,我们知道一个多项式如果它

5、的系数确定了这个多项式也就完全确定了我们希,,,、,﹄户夕少、望见为多式线过已知个点少‘丫夕、一一。一一。一一二卜“,斗⋯,、已一。一,一。“。卜,。十‘⋯二一一,二。卜。若卜一卜一,二一‘川幻邓车表示民才一‘、。,一几甘口一一、一⋯︸”⋯︸⋯二一‘。一若⋯二。、、⋯一,、。这也就是说我们要找的多项式系数应满足线性方程组由线,性代数知识可知线性方程组的系数行列式,‘妇‘,刃一泥几‘哺上土,一︸八︺”“汀一,勺簇,、、、,,。当⋯为个不同的数时李七行列式不等于零于是可得线性方程的唯一解,门一口︸﹄‘,卫气‘飞‘积皿仆、、一︸一·山︸,占,欠厂九

6、二才一一。一一从而便得到了这个次多项式一”一。,十“⋯。,’一。,这个多项式就是拉格朗日多项式因此我们就可以用这卜多项式来估计某个对。。应的值这种估计方法就是拉格朗日插值法一,。可以看出式与已知数据关系并不明确下而我们就情形给出。的具体表达式由﹄牌曰饭一︻、卜一⋯令二。此籽列式是范德蒙行列式的转置行列式一二卫、一、口二。一一,一“,‘一’一。一、‘’··,’一一一一‘,十‘’,一“。卜欠。一万一‘’一’一一“”一。一。一,入一攻一,一一一一。一。一一一一茎全兰三全一,十,一一。⋯气一一。一。一,一一,又丁面刀。一一。。在几一一于是方程组的解为

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8、入。灭一。一二,对个已知对应—资料的情形同理可证拉格朗日多项式的具体形式为,。·一一一终二圣匹厂卜〔力一一一,欠⋯一,〔一⋯人卜一一。立一一十⋯,⋯兰盗茎一。一、。